SSPS square summable power series

SSPS square summable power series
 
１．formal なべき級数がつくるベクトル空間
$${{{a}_{k}}\in \mathbb{C},k=0,1,2,3,\cdots }$$
にたいして
$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
をformal なべき級数とする。ここで、formal といったときべき級数の収束性は考えない。たとえば、フーリエ級数
$${\varphi \left( x \right)\sim \cdots +{{a}_{-3}}{{e}^{-i3x}}+{{a}_{-2}}{{e}^{-i2x}}+{{a}_{-1}}{{e}^{-ix}}+{{a}_{0}}+{{a}_{1}}{{e}^{ix}}+{{a}_{2}}{{e}^{2ix}}+\cdots }$$
の場合これもべき級数だが、収束性はかならずしも言っていない。
右辺が$${\varphi \left( x \right)}$$に等しいとも言っていないformalなものである。
formalなべき級数
$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
と複素数$${w\in \mathbb{C}}$$にたいして、スカラー倍
$${wf\left( z \right)=\left( w{{a}_{0}} \right)+\left( w{{a}_{1}} \right)z+\left( w{{a}_{2}} \right){{z}^{2}}+\left( w{{a}_{3}} \right){{z}^{3}}+\cdots }$$
を考えることができる。
またほかにformal　べき級数、$${g\left( z \right)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}z+{{b}_{2}}{{z}^{2}}+{{b}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
があるとき$${f\left( z \right)}$$ との和として得られるformal べき級数
$${f\left( z \right)+g\left( z \right)=\left( {{a}_{0}}+{{b}_{0}} \right)+\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}} \right)z+\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}} \right){{z}^{2}}+\cdots }$$
および
$${f\left( z \right)g\left( z \right)=\left( {{a}_{0}}{{b}_{0}} \right)+\left( {{a}_{0}}{{b}_{1}}+{{a}_{1}}{{b}_{0}} \right)z+\left( {{a}_{0}}{{b}_{2}}+{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{0}} \right){{z}^{2}}+\left( {{a}_{0}}{{b}_{3}}+{{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}}+{{a}_{3}}{{b}_{0}} \right){{z}^{3}}+\cdots }$$という積として得られるformal べき級数を考えることができる。
また、$${f\left( z \right)\equiv 0}$$でないとき、$${h\left( z \right)=f\left( z \right)g\left( z \right)}$$ となる$${h\left( z \right)}$$を知れば、両辺の$${{{z}^{k}}}$$の係数を比較して一意に$${g\left( z \right)}$$ を見いだせる、いわゆるformalなべき級数は整域をなしている。formal　べき級数$${f,g,h}$$に対して上のような、$${f+g}$$という和は結合律$${\left( f+g \right)+h=f+\left( g+h \right)}$$ がなりたち、係数のすべてが$${0}$$であるべき級数を$${0}$$ と書いて$${f+0=0+f=f}$$ が成立つことがわかる。また、$${f+\left( -f \right)=\left( -f \right)+f=0}$$ というマイナス要素は、係数のすべてにマイナスをかけたものとして定義される。このようにしてformalべき級数全体は複素数上のベクトル空間になる。
 
 
２．SSPS square summable power series　がつくるヒルベルト空間
formal べき級数$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$で、係数の2乗和
$${a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots }$$
が収束するものをSSPS square summable power series　とよぶ。
SPSS全体を$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$ で表す。そして、$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$は
$${{{\left\| f\left( z \right) \right\|}^{2}}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots =\underset{N\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=0}^{N}{a_{k}^{2}}}$$
となる$${\left\| f\left( z \right) \right\|}$$ をノルムとするノルム空間となる。
$${wf\left( z \right)=\left( w{{a}_{0}} \right)+\left( w{{a}_{1}} \right)z+\left( w{{a}_{2}} \right){{z}^{2}}+\left( w{{a}_{3}} \right){{z}^{3}}+\cdots }$$
はSSPSである。なぜなら、
$${{{\left\| wf\left( z \right) \right\|}^{2}}={{\left| w{{a}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| w{{a}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| w{{a}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| w{{a}_{3}} \right|}^{2}}+\cdots }$$$${={{\left| w \right|}^{2}}\left( {{\left| {{a}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{3}} \right|}^{2}}+\cdots \right)={{\left| w \right|}^{2}}{{\left\| f\left( z \right) \right\|}^{2}}}$$
であるから。また、$${f\left( z \right)}$$ と$${g\left( z \right)}$$ がSSPSであるとき、$${f\left( z \right)+g\left( z \right)}$$もSSPSである。なぜなら、
$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$,
$${g\left( z \right)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}z+{{b}_{2}}{{z}^{2}}+{{b}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
とするとき、
$${{{\left| {{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right|}^{2}}=\left( {{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right)\left( {{{\bar{a}}}_{n}}+{{{\bar{b}}}_{n}} \right)={{a}_{n}}{{\bar{a}}_{n}}+{{a}_{n}}{{\bar{b}}_{n}}+{{\bar{a}}_{n}}{{b}_{n}}+{{b}_{n}}{{\bar{b}}_{n}}}$$
$${{{\left| {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right|}^{2}}=\left( {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right)\left( {{{\bar{a}}}_{n}}-{{{\bar{b}}}_{n}} \right)={{a}_{n}}{{\bar{a}}_{n}}-{{a}_{n}}{{\bar{b}}_{n}}-{{\bar{a}}_{n}}{{b}_{n}}+{{b}_{n}}{{\bar{b}}_{n}}}$$
から
$${{{\left| {{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right|}^{2}}=2{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}+2{{\left| {{b}_{n}} \right|}^{2}}}$$
がえられるので、
$${\sum\limits_{0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right|}^{2}}\le 2{{\left\| f \right\|}^{2}}+2{{\left\| g \right\|}^{2}}}}$$
となり、$${f\left( z \right)}$$ と$${g\left( z \right)}$$ がSSPSであるとき、$${f\left( z \right)+g\left( z \right)}$$もSSPSであることがわかる。この方法で、スカラー積や和について、formal べき級数のベクトル空間としての公理がSSPSの空間$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$へとwell　defined に引き継がられる。さらに、$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$には$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$と$${g\left( z \right)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}z+{{b}_{2}}{{z}^{2}}+{{b}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
に対して内積
$${\left\langle f\left( z \right),g\left( z \right) \right\rangle ={{a}_{0}}{{\bar{b}}_{0}}+{{a}_{1}}{{\bar{b}}_{1}}+{{a}_{2}}{{\bar{b}}_{2}}+\cdots }$$
を定義することができる。なぜなら、
$${4{{a}_{n}}{{\bar{b}}_{n}}={{\left| {{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right|}^{2}}-{{\left| {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right|}^{2}}+i{{\left| {{a}_{n}}+i{{b}_{n}} \right|}^{2}}-i{{\left| {{a}_{n}}-i{{b}_{n}} \right|}^{2}}}$$
をもちいて、
$${{{a}_{0}}{{\bar{b}}_{0}}+{{a}_{1}}{{\bar{b}}_{1}}+{{a}_{2}}{{\bar{b}}_{2}}+\cdots }$$
$${=\frac{1}{4}\left( {{\left| {{a}_{0}}+{{b}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{1}}+{{b}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{2}}+{{b}_{2}} \right|}^{2}}+\cdots \right)}$$$${-\frac{1}{4}\left( {{\left| {{a}_{0}}-{{b}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{2}}-{{b}_{2}} \right|}^{2}}+\cdots \right)}$$
$${+\frac{1}{4}i\left( {{\left| {{a}_{0}}+i{{b}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{1}}+i{{b}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{2}}+i{{b}_{2}} \right|}^{2}}+\cdots \right)}$$$${-\frac{1}{4}i\left( {{\left| {{a}_{0}}-i{{b}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{1}}-i{{b}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{2}}-i{{b}_{2}} \right|}^{2}}+\cdots \right)}$$
となり、右辺にあるそれぞれの級数は収束することから左辺の収束が導かれる。
 
内積が定義された完備なベクトル空間はHilbert空間である。$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$がHilbert空間であるためにはその完備性をいえばよい。$${\left( {{f}_{k}}\left( z \right) \right)}$$を$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$のコーシー列とする。各$${k}$$について
$${{{f}_{k}}\left( z \right)={{a}_{k0}}+{{a}_{k1}}z+{{a}_{k2}}{{z}^{2}}+{{a}_{k3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
とすると、
$${\left| {{a}_{kn}}-{{a}_{rn}} \right|\le \left\| {{f}_{k}}-{{f}_{r}} \right\|}$$
となるので、$${\left\{ {{a}_{kn}} \right\}}$$ は$${n}$$を固定して、$${k}$$に関するコーシー列である。したがって、$${{{a}_{n}}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{kn}}}$$が存在する。そこで、この値を係数とするformal べき級数
$${f\left( z \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+{{a}_{3}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
が得られる。あと証明しなければならないことは、この$${f\left( z \right)}$$ が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$に属することと、$${f\left( z \right)=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{k}}\left( z \right)}$$がなりたつことである。いま、任意に$${\varepsilon >0}$$をとる。$${N=N\left( \varepsilon \right)}$$を選び$${k\ge N}$$$${r\ge N}$$のとき、$${\left\| {{f}_{k}}-{{f}_{r}} \right\|\le \varepsilon }$$となるようにする。このとき、各$${n}$$に対して、
$${{{\left| {{a}_{k0}}-{{a}_{r0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{k1}}-{{a}_{r1}} \right|}^{2}}+\cdots +{{\left| {{a}_{kn}}-{{a}_{rn}} \right|}^{2}}\le {{\varepsilon }^{2}}}$$
となる。$${r\to \infty }$$とするとき、
$${{{\left| {{a}_{k0}}-{{a}_{0}} \right|}^{2}}+{{\left| {{a}_{k1}}-{{a}_{1}} \right|}^{2}}+\cdots +{{\left| {{a}_{kn}}-{{a}_{n}} \right|}^{2}}\le {{\varepsilon }^{2}}}$$
をえる。このことから$${n}$$は任意であるから$${{{f}_{k}}\left( z \right)-f\left( z \right)}$$ は$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$に属し$${\left\| {{f}_{k}}-f \right\|\le \varepsilon }$$が言える。$${{{f}_{k}}}$$はもともと$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$の元であるから、$${f\left( z \right)}$$ が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$に属するはずである。また、$${k\ge N\left( \varepsilon \right)}$$のとき$${\left\| {{f}_{k}}-f \right\|\le \varepsilon }$$となっており、$${\varepsilon }$$ は任意なのだから、$${f\left( z \right)=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{k}}\left( z \right)}$$が成立している。$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$のコーシー列は収束列であるから$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$は完備となった。$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$はHilbert空間である
 
3. Rovnyak の閉イデアル
 
RovnyakはdeBrangeとの共著
Square Summable Power Series ,Holt,Rinehartand Winston,Inc1966
に先立って
Ideals of square summable powerseries,
Math.Magazine 33(1960),265-270 and 34(1961),41-42
において以下の諸定理を証明した。

定理１．
$${M}$$を$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$の非ゼロのイデアルとする。$${f\in M}$$ からつくった$${zf\left( z \right)}$$ の全体は$${M}$$ に真に含まれる閉部分空間となる。

定理２.
$${M}$$ を$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$の非ゼロの閉イデアルとする。$${B\left( z \right)\in M}$$ で$${\left\| B\left( z \right) \right\|=1}$$ ,
$${B\left( z \right)\bot zf,f\in M}$$ となるものを選ぶとき、
$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$
は$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系をなす。

定理３.
$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系をなすならば、$${f\in \mathcal{C}\left( z \right)}$$ にたいして、$${B\left( z \right)f\left( z \right)}$$ は$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$に属し、$${\left\| f\left( z \right) \right\|=\left\| B\left( z \right)f\left( z \right) \right\|}$$が成立する。

定理４.
$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系をなすとする。
$${\left| w \right|<1}$$ となる複素数$${w}$$ に対して、
$${K\left( w,z \right)=\frac{1-\bar{B}\left( w \right)B\left( z \right)}{1-\bar{w}z}}$$は$${z}$$ についてSSPSである。また、$${\left| {{w}_{1}} \right|<1}$$ $${\left| {{w}_{2}} \right|<1}$$
に対して$${\left\langle K\left( {{w}_{1}},z \right),K\left( {{w}_{2}},z \right) \right\rangle =K\left( {{w}_{1}},{{w}_{2}} \right)}$$となる。$${\left| z \right|<1}$$に対して$${\left\| B\left( z \right) \right\|\le 1}$$であり、等式$${\left\| B\left( z \right) \right\|=1}$$となるのはある定数関数$${B\left( z \right)=c}$$となるの場合のみである。ここで、$${\left| c \right|=1}$$。
 
定理５．
$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$ が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系をなすとする。$${g\left( z \right)\in \mathcal{C}\left( z \right)}$$がある、$${f\left( z \right)\in \mathcal{C}\left( z \right)}$$を用いて$${g\left( z \right)=B\left( z \right)f\left( z \right)}$$と書けるための必要十分条件は$${\left\langle {{z}^{m}}g\left( z \right),B\left( z \right) \right\rangle =0}$$ , $${m=1,2,3,\cdots }$$
 
定理６.
$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$ が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系をなすとする。
$${f\left( z \right)\in \mathcal{C}\left( z \right)}$$を用いて$${g\left( z \right)=B\left( z \right)f\left( z \right)}$$とかけることを仮定する。このとき、
$${f\left( z \right),f\left( z \right)z,f\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$が正規直交系をなすための必要十分条件は
$${g\left( z \right),g\left( z \right)z,g\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$
が正規直交系をなすことである。
 
定理７．
$${{{B}_{1}}\left( z \right),{{B}_{1}}\left( z \right)z,{{B}_{1}}\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$ と$${{{B}_{2}}\left( z \right),{{B}_{2}}\left( z \right)z,{{B}_{2}}\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系であると仮定する。ある定数$${c}$$ で$${\left| c \right|=1}$$ があって、$${{{B}_{2}}\left( z \right)=c{{B}_{1}}\left( z \right)}$$であるための必要十分条件は$${\left\langle {{B}_{1}}\left( z \right){{z}^{m}},{{B}_{2}}\left( z \right) \right\rangle =\left\langle {{B}_{2}}\left( z \right){{z}^{m}},{{B}_{1}}\left( z \right) \right\rangle =0}$$, $${m=1,2,3,\cdots }$$となることである。
 
定理８.
$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$ が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系をなすとする。
$${M\left( B \right)=\left\{ g\left( z \right)=B\left( z \right)f\left( z \right):f\in \mathcal{C}\left( z \right) \right\}}$$ はゼロでない閉イデアルである。さらに、
$${M}$$ がゼロでない閉イデアルであるとするなら、$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系$${B\left( z \right),B\left( z \right)z,B\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$ が存在して、$${M=M\left( B \right)}$$である。この$${B\left( z \right)}$$は絶対値１の定数倍を除いて一意である。
 
定理９.
$${{{B}_{1}}\left( z \right),{{B}_{1}}\left( z \right)z,{{B}_{1}}\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$と$${{{B}_{2}}\left( z \right),{{B}_{2}}\left( z \right)z,{{B}_{2}}\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系であると仮定する。
$${M\left( {{B}_{1}} \right)\subset M\left( {{B}_{2}} \right)}$$ であるための必要十分条件は$${{{B}_{3}}\left( z \right),{{B}_{3}}\left( z \right)z,{{B}_{3}}\left( z \right){{z}^{2}},\cdots }$$が$${\mathcal{C}\left( z \right)}$$において正規直交系であるものが存在して
$${{{B}_{1}}\left( z \right)={{B}_{2}}\left( z \right){{B}_{3}}\left( z \right)}$$と書けることである。

ここであらわれる$${B\left( z \right)}$$はBlaschke 積であることが後になってわかるだろう。