ラドン測度

ラドン測度
 
もともと積分は、面積や体積など測度を計算する目的のために考案されたものである。しかし、Lebesgue 積分では逆に測度の計算を最初に行い、それの応用として積分を定義するという方法をとる。
積分は関数$${f}$$ があたえられたとき、実数（複素数） $${Tf=\int{fd\mu }}$$を返す線形汎関数である。すなわち、$${T\left( af+bg \right)=aTf+bTg}$$ ,$${a,b\in \mathbb{C}}$$。F.Rieszはこの線形汎関数を積分を使って表すRieszの表現定理とよばれるものを証明した。すなわち、
$${X}$$は局所コンパクトHausdorff空間（とりあえず$${X={{\mathbb{R}}^{n}}}$$ と思ってもよい）
において、$${{{\left| u \right|}^{p}}}$$が可積分となる関数$${u:X\to \mathbb{C}}$$で作る空間 $${{{L}^{p}}\left( X \right)}$$ 上の線形汎関数は、$${1\le p<{{\infty }^{{}}}}$$ のとき$${{{L}^{q}}\left( X \right)}$$ ,（$${1/p+1/q=1}$$）の関数を用いて表現される。
 

表現定理１
（i）$${T\in {{\left( {{L}^{p}} \right)}^{*}}}$$ ならば、$${f\in {{L}^{q}}\left( X \right)}$$ が存在して、
$${Tu=\int\limits_{X}{ufd\mu }}$$
(ii) 逆に$${f\in {{L}^{q}}\left( X \right)}$$のとき、$${Tu=\int\limits_{X}{ufd\mu }}$$は$${{{L}^{p}}\left( X \right)}$$ 上の線形汎関数を定義し、
$${\left\| T \right\|={{\left\| f \right\|}_{{{L}^{q}}}}}$$が成立する。

$${p=\infty }$$ では必ずしもこのような表現ができない。しかし、$${{{L}^{\infty }}\left( X \right)}$$は連続関数の空間の空間で置き換えることにより、線形汎関数をBorel測度（Radon測度）として表現できる。 連続関数の作る空間を次のようにとる。
$${C\left( X \right)=\left\{ u\,\,;u はX上で連続 \right\}}$$
$${{{C}_{}}\left( X \right)=\left\{ u\,\,;\,\,u\in C(X)\,\,\text{supp}\,\,u がコンパクト \right\}}$$
 
すべてのコンパクト集合を含む最小のσ集合体をBorel集合体といい、$${\mathcal{B}\left( X \right)}$$とかく。これはすべての開集合を含む最小のσ集合体といっても同じである。
Borel集合体の要素はボレル集合といわれる。そして、
 

定義）$${\mathcal{B}\left( X \right)}$$上で定義された正測度$${\mu }$$は
（i）コンパクト集合$${K}$$に対し、$${\mu \left( K \right)<{{\infty }^{{}}}}$$であるときBorel測度であるという。
(ii)任意のBorel集合$${E}$$ に対して$${\mu \left( E \right)=\sup \left\{ \mu \left( K \right);K\subset E,K はコンパクト \right\}}$$
であるとき、$${\mu }$$は内正則、
(iii)任意のBorel集合$${E}$$に対して}$${\mu \left( E \right)=\inf \left\{ \mu \left( O \right);E\subset O,O は開集合 \right\}}$$
であるとき、$${\mu }$$ は外正則という。
内正則かつ外正則である測度は正則測度という。
正則なBorel測度をRadon測度という。
 
Radon測度を用いれば、次の表現定理を得る。$${T}$$ を$${{{C}_{c}}\left( X \right)}$$上の線形汎関数とする。$${u\ge 0}$$に対して$${Tu\ge 0}$$であるとき、$${T}$$は正であるという。

表現定理２）$${T}$$を$${{{C}_{c}}\left( X \right)}$$上の線形汎関数とするとき、次のようなRadon 測度$${\mu }$$が一意に存在する。
$${Tu=\int{ud\mu }}$$, $${u\in {{C}_{c}}\left( X \right)}$$