穂乃果と質点系の力学
穂乃果自室にて
穂乃果「ねぇ、海未ちゃん」
海未「何でしょう？」
穂乃果「この前授業で質点の運動方程式って習ったじゃん？」
穂乃果「あれって質点がいっぱいあるときはどうなるの？」
海未「穂乃果にしては鋭い指摘ですね」
穂乃果「なんか一言余計だよ」
海未「事実なんだから仕方ありません。ところでなぜそのようなことを？」
穂乃果「いやね？昨日テレビででん〇ろう先生が万有引力？の話をしてたんだけどね、なんでも離れてる物同士が互いに及ぼし合ってる内力っていう力らしいの」
穂乃果「でもそうするとさっき言った質点がいっぱいある時は1つの質点にたくさんの内力が働くことになるでしょ？」
穂乃果「そういうときはどうやって運動方程式を立てたらいいんだろうって考えてたらもうわけ分かんなくなっちゃって」
海未「なるほど」
穂乃果「海未ちゃんに訊いたらわかるかなって」
海未「あの穂乃果が自ら物理を教わろうとするなんて…」ﾎﾛﾘ
穂乃果「ちょっと！そんな感動しなくてもいいじゃん！」
海未「だって…」ﾎﾟﾛﾎﾟﾛ
穂乃果「もう…」
海未「…わかりました！穂乃果がせっかくやる気になっているのだから私もそれに応えないといけませんよね」
海未「今日は夜まで質点系の力学について語りましょう！」
穂乃果「夜までやるの！？」
海未「はい！あなたも参加するのですよ、ことり？」
ことり「ふぇ!?」
穂乃果（ことりちゃんいたんだ…）
1. 質点系の運動方程式
海未「まずは復習です」ｶﾞｼｬﾝ
穂乃果「おぉ...そんな大きなボードどこから出してきたの」
海未「そんなのは些末な問題です」
穂乃果「えぇ…」
海未「ではことり、ここに質点の運動方程式を書いてくれませんか」
ことり「うん♪」
穂乃果「ねぇ、穂乃果は～？」
海未「あなたはあとで好きなだけ書かせてあげるので我慢してください。いけそうですか、ことり？」
ことり「大丈夫だよ～、文字は適当に決めるね」
$$
m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}=\vec{F}
$$
ことり「こんな感じかな♪」
海未「ありがとうございます。$${m}$$は質量、$${\vec{r}}$$が位置ですね。では穂乃果、この右辺にある$${\vec{F}}$$の意味はなんでしたっけ？」
穂乃果「力だよ！」
海未「そうですね。厳密にいうと質点に加わっているすべての力の合力です。そしてこの合力という部分が重要なんです」
穂乃果「ほうほう」
海未「実をいうとこれを理解していれば穂乃果の言ってた『質点がたくさんあるとき』の運動方程式が書けてしまいます」
穂乃果「ええ！？」
海未「つまり各質点との内力を別々で考えてからすべて足し合わせてしまえばいいのですよ」
穂乃果「はぇ～」
海未（わかってなさそうですね）
海未「例えば外力がないところに$${n}$$個の質点がある場合を考えてみましょう」
海未「ちなみにこのような質点が複数存在する状況を質点系と呼びます」
海未「今回の例でいうと$${n}$$質点系になりますね」
海未「それぞれに番号を振ってから$${i}$$番目の質点が$${j}$$番目の質点から受ける力を$${\vec{F}_{i j}}$$とすると…」
$$
m_i \frac{d^2 \vec{r_i}}{d t^2}=\sum_{j=1,j{\neq}i}^n \vec{F}_{i j}
$$
海未「$${i}$$番目の質点の運動方程式はこのように書けるわけです。右下に$${i}$$と書いてあるものは$${i}$$番目の質点の値という意味です」
穂乃果「なるほど」
ことり「外力がある時は右辺に外力を書き加えればいいんだよね」
海未「そうです」
穂乃果「よかったぁ～これで今夜は安心して寝れるよぉ」
海未「もう満足してしまったのですか」
穂乃果「うん！ありがと！海未ちゃん」
海未「は、はぁ」
穂乃果「ん？でもこれって解くのめちゃくちゃ大変じゃない？」
海未「と言いますと？」
穂乃果「内力全部がそうかは分からないけど、例えば万有引力だったら質点間の距離によって大きさが変わるでしょ？」
穂乃果「だったら上の式を解くには他の質点の位置も知らないといけないわけで…でもそれを知るにはまた同じような運動方程式を立てなきゃいけなくて…結局すごい面倒な連立方程式解くことになるんじゃない？」
海未「そうですね、ですから実際はコンピューターを使って解いたりします」
穂乃果「手計算では解けないのか…」ｼｮﾎﾞﾝ
ことり「大丈夫だよ、穂乃果ちゃん。手計算でわかることだってあるはずだよ」
海未「その通りです」（ことりも意外と詳しいですね）
海未「実は運動方程式を変形するだけでわかることがいくつかあって…」
海未「各質点の位置よりはそちらの方が重要なのです」
海未「ちょうど今からそれについて話そうとしてました」
穂乃果「まだまだ先は長そうだね」ﾆｺﾆｺ
ことり「穂乃果ちゃんなんだか楽しそう」
穂乃果「うん！ここまで来たらもう徹底的に理解するつもりだよ！」
２．重心
２.1 重心の運動
海未「さて、先ほどの$${n}$$質点系の運動方程式に外力を加えてもう一度確認しておきましょう」
$$
m_i \frac{d^2 \vec{r_i}}{d t^2}=\vec{F}_{i}{\text {ext }}+\sum_{j=1,j{\neq}i}^n \vec{F}_{i j}
$$
海未「外力を$${\vec{F}_{i}{\text {ext }}}$$とすればこのように書けますね」
海未「そして先ほど穂乃果が言った通りこれは各質点について成り立つので$${n}$$個の式が作れます」
穂乃果「うん」
海未「ではそれらをすべて足し合わせたらどうなるでしょう？」
穂乃果「え？」
海未「つまり両辺で$${i}$$についての和をとるのです」
穂乃果「それなら私に任せなさい！」ｷﾘｯ
海未「穂乃果は和をとるのが本当に好きですね」
穂乃果「だってシグマ書くだけだもん」
ことり「ファイトだよ！穂乃果ちゃん」
穂乃果「ちょっと！それ私の専売特許だよ」ｷｭｯｷｭｯ
$$
\sum_{i=1}^nm_i \frac{d^2 \vec{r_i}}{d t^2}=\sum_{i=1}^n\vec{F}_{i}{\text {ext }}+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1,j{\neq}i}^n \vec{F}_{i j}
$$
穂乃果「あ、あれ？なんかすごいややこしくなっちゃった」
海未「そうかもしれませんね。けど合ってますよ」
穂乃果「ほんとに？けどここからどう変形するのかさっぱりわかんないよ」
海未「大丈夫です、一緒に見ていきましょう」
海未「まずは左辺ですね」
海未「ここを分かりやすくするためにこのような値を取り入れます」
$$
\vec{r}_G=\frac{m_1 \vec{r}_1+\cdots+m_n \vec{r}_n}{m_1+\cdots+m_n}
$$
穂乃果「なんか平均みたいだね」
海未「言われてみればそうですね…まぁ実際、その性質も平均と少し似ています」
海未「あとで説明しますがこの値、『質量の中心』ともいえるものでして...そのことにちなんで『重心』と呼ばれています」
ことり「英語なんかだともろに"center of mass"って呼んでるよね♪」
海未「そうですね…ところで前々から思ってたんですけど英語って時々直接的すぎませんか？私は重心の方が風情があって好きです」
ことり「ことりは英語もわかりやすくていいと思うけどなぁ」
海未「いいえこれは譲れません！プリンキピアを英訳した方には文句を言いたいくらいです！」
穂乃果「海未ちゃん大和撫子すぎるよ」
ことり「さすが園田家の娘だね…」
海未 ﾌﾝｽｯ
穂乃果「でもこの値をどうやってさっきの式に入れるの？」
海未「わかりませんか？では分母の質量の総和を$${M}$$とまとめてこう書いてみてはどうでしょう」
$$
M \vec{r}_G=\sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i
$$
穂乃果「う～ん、確かにわかりやすくはなったけど…」
穂乃果「運動方程式の左辺には二階微分が入ってるし…」
ことり「線形性だよ！穂乃果ちゃん」
穂乃果「いやそんな『ファイトだよ！』みたいに言われても」
ことり「微分って線形だから和の中身も微分できるでしょ」
$$
M \frac{d^2 \vec{r}_G}{d t^2}=\sum_{i=1}^n m_i \frac{d^2 \vec{r}_i}{d t^2}
$$
ことり「こんな風にね♪」
穂乃果「なるほど！これならさっきの運動方程式にも代入できるね」
$$
M \frac{d^2 \vec{r}_G}{d t^2}=\sum_{i=1}^n\vec{F}_{i}{\text {ext }}+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1,j{\neq}i}^n \vec{F}_{i j}
$$
穂乃果「うん！これで左辺はすっきりしたね」
海未「はい、あとは右辺です」
穂乃果「第１項はそのままでいいよね」
海未「そうですね、問題は第２項です」
穂乃果「シグマが重なってるのなんて初めて見たよ」
海未「これは『二重和』といって内側のシグマから作用させるんですよ」
穂乃果「へぇ～、でもこれって結局のところ系に存在する内力を全部足したやつってことだよね？」
海未「はい」
ことり（おしりかゆいなぁ…）ﾓｿﾞﾓｿﾞ
穂乃果「だったら簡単じゃない？」
穂乃果「ほら、内力にも作用と反作用ってあるでしょ」
穂乃果「各内力に必ずそれを打ち消す反作用があるから系の内力をすべて足したら０だよ」
海未「その通りです、穂乃果の勘も大分磨かれてきましたね」
ことり「やったね、穂乃果ちゃん」（ケーキでも食べよ）
穂乃果「ふふん、私だってやればできるんだから」
海未「さて、以上のことを踏まえると質点系の運動方程式はこのように書けますね」
$$
M \frac{d^2 \vec{r}_G}{d t^2}=\sum_{i=1}^n\vec{F}{\text {ext }}
$$
穂乃果「もう質点の運動方程式と変わんないね」
海未「はい、ですからそれにちなんでこの式を『重心の運動方程式』呼ぶことにしましょう」
海未「この式はとんでもないことを表していまして」
海未「要するに重心の動きは外力にのみ依存するといっているのです」
海未「しかも質点間の内力や各質点の位置によらず、です」
穂乃果「じゃあ外力が無かったら…」
海未「重心の加速度は０なので等速直線運動をしますね」
穂乃果「重心だけすごくわかりやすいね」
穂乃果「けどこれなら手計算でも全然解けそう」
海未「そうなんです、実際質点系や質点の集まりともいえる剛体の動きを追うときはまず簡単な重心の運動方程式を解いたりします」
海未「質点も大体重心周りに分布していますしね」
穂乃果「まさかこんな便利な値が隠れていたとは…」
海未「難しい方程式を解くときはこのように都合のいい値を作ってしまうのも一つの手ですね」
穂乃果「うん！」
ことり「あっ、このケーキおいしっ♥」
２.2 相対運動
穂乃果「とはいえ各質点についての情報ももう少し欲しいよね～、何かいい手はないの？海未ちゃん」
海未「ありますよ」
穂乃果「ほんとっ！？」
海未「ええ、先ほど重心の動きが分かったので次は重心に対する相対運動です」
穂乃果「相対運動って？」
海未「つまり各質点が重心から見た際にどのように動くかを考えるんです」
穂乃果「そっか、それに重心の動きを足せば質点の動きになるもんね」
海未「はい、ですからそのためにまず重心に対する相対座標というものを取り入れます」
$$
\vec{r_i}^{\prime}=\vec{r_i}-\vec{r}_G
$$
海未「この式からわかるように、重心から見た質点の位置のことですね。簡単のためにこれ以降は相対座標と呼ぶことにします」
穂乃果「穂乃果わかったよ」
穂乃果「これを運動方程式に代入するんでしょ」
$$
m_i \frac{d^2 \vec{r}^{\prime}}{d t^2}+m_i \frac{d^2 \vec{r}G}{d t^2}=\vec{F_i}{\text{ext}}+\sum_{j=1, j \neq i}^n \vec{F}_{i j}
$$
$$
m_i \frac{d^2 \vec{r}^{\prime}}{d t^2}=\sum_{j=1, j \neq i}^n \vec{F}_{i j}
$$
穂乃果「あれ？外力は消せたけど一番面倒な内力が残っちゃった…」
海未「まぁ代入するだけだとそうなりますね」
海未「ですがこの式からわかることもありますよ」
穂乃果「確かに…重心から見たときは内力だけ考えればいいんだね」
海未「はい、重心が外力に従って動いてくれますから」
ことり「重心の運動に相対運動を加えたら元の運動になるもんね」
穂乃果「なるほど」
海未「ですが穂乃果、それだけではありませんよ」
海未「実はこの相対座標、どんな状況下でも成り立つすごく便利な性質を持っているんです」
海未「重心の定義を思い出してみましょう」
穂乃果「覚えてるよ、あれだよね」ｺﾞｿｺﾞｿ
ｼｭｯ
$$
\vec{r}_G=\frac{m_1 \vec{r}_1+\cdots+m_n \vec{r}_n}{m_1+\cdots+m_n}
$$
ﾊﾟｯ
穂乃果「本文にも載せておいたよ！」
海未「ほ、本文？」
ことり「穂乃果ちゃんはね、創作と現実の垣根を超えた高次存在になる時があるんだよ♪」
海未「ことりもいったい何を言っt…さっきから何を食べてるんですか」
ことり「チーズケーキだよ♪」ﾊﾟｸｯ ﾓｸﾞﾓｸﾞ ｺﾞｸｯ
穂乃果「あっ！ことりちゃんだけずるい！」
海未「どこからそんなものを…」
ことり「今日はなんだか話が長くなりそうだったから持ってきてたんだ、いや～案の定長くなったから良かったよ～」
海未「そうですか…」
穂乃果「隙ありっ！！」ｻｯ ﾊﾟｸｯ
ことり「あっ」
海未「こらっ、勝手に人の食べ物をとるんじゃありません！」
穂乃果「はーい」ﾓｸﾞﾓｸﾞ
穂乃果「ふぇ?ふぁっきのふゅうひんが…」
海未「ちゃんと飲み込んでからしゃべってください！」
海未「はぁ…閑話休題です…」
海未「改めて、先ほどの相対座標には便利な性質がありまして、なんと重心の定義から導けるんです」
海未「まずは質点$${i}$$の相対座標を確認しておきましょう」
$$
\vec{r_i}^{\prime}=\vec{r_i}-\vec{r}_G
$$
海未「次に両辺に質量$${m_i}$$をかけます」
$$
m_i\vec{r_i}^{\prime}=m_i\vec{r_i}-m_i\vec{r}_G
$$
海未「最後に両辺で$${i}$$についての和をとってから重心の定義を当てはめるとなかなか面白い式が出てきます」
海未「やってみますか？穂乃果」
穂乃果「うん、やる！」
穂乃果「えっとね…」
$$
\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}^{\prime}=\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}-\sum_{i=1}^n m_i\vec{r}_G
$$
$$
\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}^{\prime}=\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}-M \vec{r}_G
$$
穂乃果「最後に重心の部分を変形して…」
$$
\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}^{\prime}=\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}-\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}=0
$$
穂乃果「ぜ、ゼロになっちゃった」
海未「そうなんです、これだけでもすごいことなんですがもう少し分かりやすくするために両辺を微分してみましょう」
$$
\sum_{i=1}^n m_i\frac{d\vec{r_i}^{\prime}}{d t}=0
$$
海未「当然ですがこうなりますよね？」
穂乃果「うん」
海未「この形に見覚えはありませんか？」
穂乃果「う～ん、あったような無かったような…」
ことり「運動量保存則の形だね」
穂乃果「あっ！それだ！」
海未「そうです」
海未「つまり重心から見たときは質点系の全運動量が保存しているように見えるのです」
穂乃果「これは確かにいい情報かも」
海未「はい、極端な例だと最初にすべての質点が重心に集まっているときなんかは色々な動きが考えられますが、この式によって重心から見た時だけは全ての質点が放射状に動いて見えることが分かるのです」
海未「それこそ花火みたいに」
穂乃果「それって重心から見たらみんな一目散に逃げていくように見えるってことでしょ？」
海未「そうなりますね」
穂乃果「…子供のころは花火玉になってみたいなんて思ってたりしたけど実際なってみると案外寂しいかもね」
海未「いくら子供とは言えそんな珍妙なことを考えるのはあなたぐらいですよ」
穂乃果「えへへ」
海未（別に褒めてはいないんですけどね）
ことり「あっ、このケーキおいしっ♥」
３．おわりに（そして覚醒せし南の鷹）
海未「とまぁこれで質点系に関する一般論は以上になります」
穂乃果「運動方程式を変形するだけでいろんなことがわかるんだね」
海未「それだけニュートンの運動方程式は偉大なんですよ」
穂乃果「まったくだよ」
ことり「え？何ふたりとも終わった感じ出してるの？」
ほのうみ「えっ」
ことり「今日は質点系について語りつくすんでしょ？ことりずっと待ってたんだよ？導入がおわるの」
穂乃果「いや、今質点系の関する一般論は大体網羅したって…」
ことり「何言ってるの？ﾊﾉｹﾁｪﾝ」
ことり「重心なんてまだ序の口、むしろここからが本番じゃない♪」
穂乃果（どうしよう…あれは完全に猛禽類の眼だよ…）
海未「…」
穂乃果（ほら、海未ちゃんなんか萎縮しちゃってるじゃん）
ことり「それに一般論もまだまだ残ってるよ。ほら、角運動量とかトルクとか。それが終わったら、剛体かな。あれは質点系の究極だもんね。慣性主軸やオイラー方程式、議論の余地はいっぱいあるよ♪」
海未「ことりっ…」ﾊﾟｧｯ
穂乃果（え、何感動してるの！？）
ことり「あ！それか二体問題の話する？系そのものはシンプルだけどあれもなかなか奥深いよねぇ。結構面白い話ができそう」
海未「全部やりましょう！」
海未「ことりがこんなに話の分かる鳥だとは思っていませんでした！感激です！今日はもうぶっ倒れるまで質点系を語りつくしましょう！！」
ことり「そうこなくっちゃ♪」
海未「さぁ穂乃果、あなたもですよ。今夜は寝かせませんからね？」
穂乃果「そ、そんなぁ」
引き戸ﾊﾞｧﾝｯ
雪穂「姉ちゃん達うるっさい！！今何時だと思ってんの？もう２時だよ！？明日私試験あるんだけど。てかふつーに近所迷惑だし」
雪穂「海未ちゃんまで一緒に騒いじゃってバッカみたい」
雪穂「とにかく…寝るかもう少し静かにして！！」
ﾊﾞｧﾝｯ
ほのことうみ「…」
穂乃果「…寝よっか」
海未「はい…」
ことり「うん…」
完
色々拙い部分があったかと思いますが、
ここまで読んでくださった方、ありがとうございます。
力学を学ぶ二年生組とキレる雪穂を見たいがために勢いで書いてしまった話です。
本当は二体問題の話もしたかったのですが長くなりそうだったので
やめました（笑）
また気が向いたら別の子にやらせようと思います。
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？