曲率

途中ですしChatGPTですしミスも誤解もありますし。

参考というか前提

曲率（Curvature）は、曲線や曲面の局所的な曲がり具合を表す量です。曲線や曲面の様々な文脈や次元に応じて、曲率の定義は異なります。以下にいくつかの代表的な定義を示します。

平面曲線の曲率

平面上の曲線で、曲率 $${ \kappa }$$ は次のように定義されます。曲線を $${\mathbf{r}(t)}$$ で表すとき、曲率は

$$
 \kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3} 
$$

で計算されます。ここで、$${ \mathbf{r}'(t) }$$ と $${ \mathbf{r}''(t) }$$ はそれぞれ曲線の一階微分と二階微分を表します。

曲線が$${\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))}$$で表されるとき、

$$
\kappa(t) = \frac{|x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)|}{\left((x'(t))^2 + (y'(t))^2\right)^{3/2}}
$$

空間曲線の曲率

空間曲線における曲率も、平面曲線と似た形で定義されます。空間曲線 $${ \mathbf{r}(t) }$$ の曲率は、

$$
\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3} 
$$

となります。この曲率は曲線の曲がり具合を表し、その値が大きいほど曲線は急に曲がっています。

曲線の曲率（角度と弧長に基づく定義）

曲線上の点での接線の方向角 $${ \theta }$$ が弧長 $${ s }$$ に対してどれだけ変化するかを測る方法です：

$$
\kappa = \left|\frac{d\theta}{ds}\right| 
$$

この形式は、角度の変化率が曲線の曲がり具合を直接的に表しています。特に、曲線が平滑で連続的な場合に適用されます。

曲線が$${y=f(x)}$$で与えられた時、ある点$${x}$$における導関数は

$$
\frac{dy}{dx}=f'(x)=\tan\theta
$$

ちょっと動いた曲線$${f(x)}$$上の点$${x + \Delta x}$$における導関数は

$$
\tan(\theta+\Delta \theta)=f'(x+\Delta x)
$$

$${\frac{d \tan \theta}{d \theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}}$$より、
$${\Delta \theta}$$が十分小さいなら

$$
\tan(\theta+\Delta \theta) =  \tan\theta +\frac{\Delta \theta}{\cos^2 \theta}\\
f'(x+\Delta x)=f'(x)+f''(x)\Delta x
$$

よって

$$
\tan(\theta+\Delta \theta)=f'(x+\Delta x)\\
\tan\theta +\frac{\Delta \theta}{\cos^2 \theta}=f'(x)+f''(x)\Delta x\\
\tan\theta +\frac{\Delta \theta}{\cos^2 \theta}=\tan\theta+f''(x)\Delta x\\
\frac{\Delta \theta}{\cos^2 \theta}=f''(x)\Delta x\\
\frac{\Delta \theta}{\Delta x}=f''(x)\cos^2 \theta\\
$$

ところで三角関数の基本的な規則から

$$
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\
\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta
$$

$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\\
\tan^2\theta \cos^2\theta + \cos^2 \theta = 1\\
 \cos^2\theta(\tan^2\theta+1)=1\\
 \cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}
$$

よって

$$
\frac{\Delta \theta}{\Delta x}=f''(x)\cos^2 \theta\\
\frac{\Delta \theta}{\Delta x}=\frac{f''(x)}{1+\tan^2\theta}=\frac{f''(x)}{1+\lbrace f'(x) \rbrace^2}
$$

曲線の弧長$${s}$$の変位$${\Delta s}$$は

$$
\Delta s^2 = \Delta x^2+\Delta y^2
$$

$${\Delta y=f'(x)\Delta x}$$であるから

$$
\Delta s^2 = \Delta x^2+(f'(x)\Delta x)^2\\
\Delta s^2 = \Delta x^2 \lbrack 1+\lbrace f'(x)\rbrace^2 \rbrack \\
\Delta x^2=\frac{\Delta s^2}{\lbrack 1+\lbrace f'(x)\rbrace^2 \rbrack}
$$

$$
\Delta x=\frac{\Delta s}{\lbrack 1+\lbrace f'(x)\rbrace^2 \rbrack^{\frac{1}{2}}
}
$$

$$
\frac{\Delta \theta}{\Delta x}=\frac{f''(x)}{1+\lbrace f'(x) \rbrace^2}\\
$$

$$
\frac{\Delta \theta \lbrack 1+\lbrace f'(x)\rbrace^2 \rbrack^{\frac{1}{2}}}{\Delta s}
=\frac{f''(x)}{1+\lbrace f'(x) \rbrace^2}\\
\frac{\Delta \theta}{\Delta s}=\frac{f''(x)}{\lbrack 1+\lbrace f'(x) \rbrace \rbrack^{\frac{3}{2}}}\\
$$

最終的に曲率

$$
\kappa = \left|\frac{d\theta}{ds}\right| 
=\left| \frac{f''(x)}{\lbrack 1+\lbrace f'(x) \rbrace \rbrack^{\frac{3}{2}}} \right| 
$$

を得る。

線素と曲率

円弧の長さは

$$
\text{円弧の長さ}=r\theta
$$

である。
曲線上の微小領域において円を押し付けた時、
うまいこと一致した時の円の半径が曲率半径$${\rho}$$であって、その逆数が曲率である。つまり曲線のカーブがこまければこまいほど曲率半径は小さくなり、その逆数である曲率は大きくなる。つまり曲線は曲がっているとみなされる。

で、円弧の長さの式から、曲線状の微小な領域にあっては

$$
ds=\rho d\theta
$$

であって

$$
\frac{d\theta}{ds}=\frac{1}{\rho}
$$

つまり曲率は、曲線上を動く毎の角度の変化の割合と解釈される。
もう少し具体的には、曲線上のある点における接線と、曲線上を微小に動いた点における接線の成す角の変化の割合である。
つまり曲率は、曲線上の微小な領域における2点の接線の成す角の変化の割合である。

ところで

$${d\theta}$$を成すのは２つの接線であるが、
これを単位接線ベクトル$${\bm t_0}$$と$${t_1}$$として扱おう。
この時$${\bm t_1- \bm t_0=d\bm t}$$とすると
微小な領域では$${d\theta=|d\bm t|}$$とみなされる。

これはつまり、本来だったら直角三角形でしか成り立たない三角関数が、微小領域なら二等辺三角形でも成り立つよということである。
今の場合、$${|d\bm t|}$$は微小な距離$${ds}$$の結果の、単位接線ベクトル同士のズレであるから、両者は全くの別物。$${ds}$$は極めて微小だが、単位接線ベクトルは1なので極めて巨大かつ一定。そのズレ$${d\theta=|d\bm t|}$$は曲線の曲がり具合による。

結果

$$
|d\bm t|=d\theta=\frac{1}{\rho}ds
$$

コンピューター上で極めて巨視的に近似しよう。
等距離な離散点があるとして、
そこから３点$${v_0, v_1, v_2}$$を取り出したとしよう。
$${ds}$$にふさわしいのは$${2\times v_1-v_0}$$か$${v_2-v_0}$$か。
他との比較という使用法なら、おそらくどちらでも機能する。
同じ角度なら離散点間の距離は長い方が曲率小さいし曲がってない。短いほうが曲率大きいし曲がっている。

３点を通る円から曲率半径を求める場合は

曲面の主曲率とガウス曲率、平均曲率

曲面においては、点における曲面の曲がり方を表すために「主曲率」、「ガウス曲率」、「平均曲率」が用いられます。

• 主曲率：曲面上のある点で考えられる曲率のうち、最大値と最小値。

• ガウス曲率：二つの主曲率 $${ \kappa_1 }$$ と $${ \kappa_2 }$$ の積で、$${ K = \kappa_1 \kappa_2 }$$ と表されます。

• 平均曲率：二つの主曲率の平均、$${ H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} )}$$と定義されます。

曲率半径

曲率半径は、曲率の逆数として定義されます。つまり、曲率 $${ \kappa }$$ の曲線においては、曲率半径 $${ R }$$ は $${ R = \frac{1}{\kappa} }$$ となります。曲率半径は、曲線を最もよく近似する円（接触円またはオシュレーション円と呼ばれる）の半径を示します。

これらの定義は、曲率を理解するための出発点であり、物理学、幾何学、工学など多くの分野で重要な役割を果たします。