確率のパラドックスの正体

有名な確率のパラドックスの問題として、モンティーホール問題と三囚人問題がある。

この２つの問題は、「3つの選択肢があり、そのうち2つの中から1つだけがハズレだと明かされる」という共通構造を持つ。

明かされたハズレを取り除いた、残りの確率が

• 各々 $${\frac{1}{2}}$$

ではなく、

• $${\frac{1}{3}}$$ と $${\frac{2}{3}}$$

というのが確率のパラドックスとされる所以である。

実は、どちらも正解である。

確率の求め方は2つある

前者は、ラプラスの確率(客観確率)と呼ばれ、高校数学で学ぶ確率であり、
後者は、主観確率と呼ばれ、ベイズの定理を使って、情報を確率に変える方法が存在する。

後者がより正確な確率となるが、情報が正しいという前提条件のもとで成立する。
これが主観と呼ばれる理由である。

くじ箱を使ったそれぞれの求め方の違い

三囚人問題をくじ箱を使って説明する。情報を聞き出したあとの、くじ箱の操作2のみ異なる。

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くじ箱の操作, ラプラスの確率の場合

1. 囚人A, B, Cを同じ大きさの紙に書き出し、透明な箱にいれる

2. Aが看守から「B, Cのうち、死刑になるのはC」と情報を手に入れると、
   箱からCを取り出す 

3. 箱の中が見えないようにする

くじ箱の操作, 主観確率の場合

1. 囚人A, B, Cを同じ大きさの紙に書き出し、透明な箱にいれる

2. Aが看守から「B, Cのうち、死刑になるのはC」と情報を手に入れると、
   箱からB, Cを取り出して、テープでくっつけて、Bと書き換え、箱に戻す 
   (ベイズの定理に基づく操作)

3. 箱の中が見えないようにする

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ラプラスの確率では、箱の中に入っている2枚の紙(A, B)が取り出される確率は、同様に等しいので $${\frac{1}{2}}$$ であるが、
主観確率では、紙Bの方が2倍大きいので、Aより引かれる確率は2倍であるとし、それぞれ $${\frac{1}{3}}$$ と $${\frac{2}{3}}$$ と考えられる。

まとめ

• ある試行における確率の求め方は2種類ある

  • ラプラスの確率 (客観確率)

  • 主観確率

• 高校数学で学ぶ確率はラプラスの確率のみ

• 主観確率では、ベイズの定理を使って、情報を確率に変える事ができるが、正しいという条件のもとでのみ成立する
  (間違っている場合は $${\frac{1}{2}}$$ であるということではない。そもそもその間違っているという前提が成立しない)