4次元版マンデルブロ集合を見てみたかった
どうも、108Hassiumです。
ある時ふと、こんなことを思いつきました。
数式だけ見てもなんのこっちゃ分からないという人が多いと思いますので、順を追って説明します。
まず、マンデルブロ集合は以下の複素数列が無限大に発散しない複素定数$${c}$$全体の集合です。
$${z_{n+1}=z_n^2+c z_0=0}$$
$${z_n=a_n+ib_n}$$、$${c=c_a+ic_b}$$とすると$${z_{n+1}}$$は以下のように表され、マンデルブロ集合は以下の数列が無限大に発散しない実数の2つ組$${(c_a,c_b)}$$全体の集合となります。
$${\begin{cases}a_{n+1}=a_n^2-b_n^2+c_a&a_0=0\\b_{n+1}=2a_nb_n+c_b&b_0=0\end{cases}}$$
ここでさらに、$${a_n}$$と$${b_n}$$を複素数に拡張し、$${a_n=v_n+iw_n}$$、$${b_n=x_n+iy_n}$$、$${c_a=c_v+ic_w}$$、$${c_b=c_x+ic_y}$$とすると$${a_{n+1}}$$と$${b_{n+1}}$$の式は以下のように書き換えられます。
$${\begin{cases}v_{n+1}=v_n^2-w_n^2-x_n^2+y_n^2+c_v&v_0=0\\w_{n+1}=2v_nw_n-2x_ny_n+c_w&w_0=0\\x_{n+1}=2(v_nx_n-w_ny_n)+c_x&x_0=0\\y_{n+1}=2(v_ny_n+w_nx_n)+c_y&y_0=0\end{cases}}$$
これこそが冒頭の式です。
そして、この数列が無限大に発散しないような$${(c_v,c_w,c_x,c_y)}$$全体の集合こそが「4次元版のマンデルブロ集合」と呼ぶにふさわしいと考え、その姿を見てみたいというのが冒頭で述べた「思い付き」の真意でした。
というわけで、4次元マンデルブロ集合の可視化を試みました。
2Dスライス
まずは、4つの変数の内2つを固定して2Dの画像として描画してみることにしました。
描画方法は以下の記事に書いてあるものと大体同じです。(ほぼ変数を増やしただけです)
定義上、これは明らかに普通のマンデルブロ集合と同じです。
$${c_w}$$を少しずらしてみました。
左側の円形の領域が変形していたり右側の谷が2つに分裂していたりするのが目立ちますが、それ以外にも細部をよく見ると枝状の部分が消えかかっていたりと微妙な違いがあります。
$${(c_v,c_x)=(-0.1,0.8)}$$付近の拡大図です。
枝は途切れ、円状領域は裂け、左下の方の飛び地はもはや訳が分からない状態になっています。
$${c_y}$$の方をずらしてみました。
$${c_w}$$をずらした方と同様に、普通のマンデルブロ集合の一部を切って別の部分とくっつけたような形に見えます。
$${c_w}$$と$${c_y}$$を両方動かしてみたら、対称性が崩れました。
アニメでよくある(?)「斬られてから数秒後に人体がバラバラになるシーン」みたいですが、切り口からも円状領域が生えているのを見ると斬られた方も只者ではなさそうです。
$${c_v}$$と$${c_w}$$を固定してみました。
多項式関数のマンデルブロ集合として普通にありそうな感じの、地味な形状です。
何の面白みもない正方形になってしまいました。
この形(といってもただの正方形ですが)、実は「分解型複素数のマンデルブロ集合」と全く同じ形です。
分解型複素数とは$${j^2=1}$$を満たす1でも-1でもない数$${j}$$と2つの実数$${a,b}$$を用いて$${a+bj}$$と表せる数のことです。
普通の複素数と同様に分解型複素数でも加法と乗法が定義でき、$${z_{n+1}=z_n^2+c}$$という数列の分解型複素数版は以下のようになります。
$${\begin{cases}a_{n+1}=a_n^2+b_n^2+c_a\\b_{n+1}=2a_nb_n+c_b\end{cases}}$$
説明は省きますが、4次元マンデルブロ集合の式は$${w_n=x_n=c_w=c_x=0}$$とすると上記の式と同じ形になり、先程の図形が分解型複素数のマンデルブロ集合と同じであることがわかります。
先程と同じく真っ黒い正方形が現れましたが、先程と違って周りに模様があります。
$${c_w}$$を連続的に動かしてみました。
真ん中の水平な線から上下に向かってマンデルブロ集合がスライドして出入りするだけに見えますが、よく見ると真ん中から離れた位置の構造も少しだけ動いています。
3Dスライス
2Dだとどんな形をしているのかよくわからなかったので、次元を一つ上げて3Dでの描画に挑戦してみました。
Processingで立体図形を描画する方法はよくわからなかったので(というか3DCGを勉強したことが一切ない)、完全に自己流のやり方で描画しました。
一応ソースコードを貼っておきますが、正直に言うとあまり参考にしないほうが良い気がします。
void setup(){
size(1000,1000);
colorMode(HSB);
background(0);
noStroke();
int maxc,d,dmax;
double v,w,x,y,pv,pw,px,py,cv,cw,cx,cy;
boolean o,p;
for(int a=0;a<1000;a++){
for(int b=0;b<1000;b++){
maxc=0;
dmax=0;
o=true;
for(int c=0;c<1000&&o;c++){
pv=(double)a/250.0-2.5;
pw=(double)b/250.0-2.0;
px=(double)c/250.0-2.0;
cv=((pv*cos(-0.5)-px*sin(-0.5))*cos(0.5)-pw*sin(0.5))*0.7;
cw=(pw*cos(0.5)+(pv*cos(-0.5)-px*sin(-0.5))*sin(0.5))*0.7;
cx=(px*cos(-0.5)+pv*sin(-0.5))*0.7;
cy=0;
v=0;
w=0;
x=0;
y=0;
o=false;
p=true;
for(d=0;d<50&&p;d++){
pv=v;
pw=w;
px=x;
py=y;
v=pv*pv-pw*pw-px*px+py*py+cv;
w=2.0*pv*pw-2.0*px*py+cw;
x=2.0*(pv*px-pw*py)+cx;
y=2.0*(pv*py+pw*px)+cy;
if(v*v+w*w+x*x+y*y>100){
o=true;
p=false;
}
}
if(dmax<d){
maxc=c;
dmax=d;
}
}
fill(cr(dmax/2.0),255,sh((float)maxc/500.0)*255);
rect(a,b,1,1);
}
}
}
float cr(float c){
return (c%256)*(256-(c%256))/65;
}
float sh(float c){
return 1.0/(c*c*c*c+1.0);
}
先程のコードをそのまま実行するとこの画像が描画されます。
シルエットは普通のマンデルブロ集合の面影があるのですが、全体的にカクカクしていて大分雰囲気が違います。
回転させてみました。
先程とは違う形になりましたが、やはりこれもカクカクしています。
これは向きが違うだけで$${c_x=0}$$のものと同じ形っぽいです。
何だこれ?
マンデルブロ集合の面影の無いものができました。
4次元の4本軸の内の1本を時間軸とすることで、疑似的かつ形式的ではありますが4次元マンデルブロ集合の全体像を可視化することができました。
感想
当初の目標であった4次元版マンデルブロ集合の可視化は一応できましたが、その手段や完成度だけでなく4次元版マンデルブロ集合そのもの(と私が勝手に呼んでいるもの)自体に不満があります。
2次元のマンデルブロ集合(全体)の魅力といえば、円や螺旋などの滑らかな曲線で構成されていながら全体像は刺々しく、どこか有機的で生命体っぽさを感じるフォルムだと私は思っています。
そのため、4Dマンデルブロ集合の3Dスライスはロマネスコのような形状になることを期待していて、残りの変数を動かすことでトゲトゲがうにょうにょ動くようなものを想像していました。
今回得られたものはこの理想とは程遠く、そういった意味では不満が残る結果となりました。
おまけ
複素数を拡張した概念として「四元数」というものがあり、これを使ったものも「4次元版マンデルブロ集合」と呼ぶのにふさわしいと思ったので描画してみました。
ちなみに今までのものは「双複素数」という体系のにおけるマンデルブロ集合と解釈できるっぽいです。
双複素数のマンデルブロ集合はバッキバキに角ばった形でしたが、四元数の場合は丸みのある形状(普通のマンデルブロ集合を実軸周りで回転させた形?)になるようです。
普通のマンデルブロ集合の計算において、定数項だけでなく初期値も動かすことで4次元版マンデルブロ集合ができるのではないか、と考えました。
要するに、以下の数列が無限大に発散しないような$${(c_a,c_b,a_0,b_0)}$$全体の集合を考えました。
$${\begin{cases}a_{n+1}=a_n^2-b_n^2+c_a\\b_{n+1}=2a_nb_n+c_b\end{cases}}$$
$${c_a}$$と$${c_b}$$を固定して$${a_0}$$と$${b_0}$$を動かしたものはジュリア集合になるので、マンデルブロ集合とジュリア集合のハイブリットみたいなものが出来上がるのではないかと期待したのですが、結果的によくわからない感じになりました。
形状が把握しづらい最大の原因は、描画方法に起因する「線状や板状の厚みの無い構造は、背後に厚みのある物体があると描画できない」という仕様だと思われます。
なんとなくトリコーンも描いてみました。
定義的には4次元版マンデルブロ集合を名乗るにふさわしいとは思えませんが、予期せずしてマンデルブロ集合とトリコーンのハイブリットが出来上がって面白かったです。