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今週のフラクタル40 (B(z^3)+c)
どうも、108Hassiumです。
今回は$${B(z^3)+c}$$($${B(z)=|x|+i|y|}$$、$${x}$$と$${y}$$は$${z}$$の実部と虚部)に関するフラクタル図形をお届けします。
B(z^3)+c
![](https://assets.st-note.com/img/1715401473346-zBz6MmaLu2.png?width=1200)
式の形は以前紹介した$${B(z)^3+c}$$とそっくりですが、マンデルブロ集合の形状は「斜めの対称軸が1本だけ」という対称性以外特に似てはいないようです。
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![](https://assets.st-note.com/img/1715404755278-HgLQvLnMZh.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1715411775388-fwmZCowRbD.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1715412482840-EZ5JEorGEX.png?width=1200)
$${B(z)^3+c}$$のジュリア集合には「実軸と虚軸について線対称」という対称性しかありませんでしたが、$${B(z^3)+c}$$のジュリア集合は6回回転対称になるようです。
![](https://assets.st-note.com/img/1715413224737-zIAhUDVuI9.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1715413134966-n8a92Sisr8.png?width=1200)
$${c}$$の実部と虚部が等しいとき、$${B(z^3)+c}$$のジュリア集合は12回回転対称になるようです。
![](https://assets.st-note.com/img/1715363351461-h6g09y0vvb.png?width=1200)
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いつものです。
![](https://assets.st-note.com/img/1715402218892-EMyOfpoF3b.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1715402302670-qM5f4exLbq.png?width=1200)
$${z_n}$$が周期数列に収束していかない領域のあるジュリア集合です。
実は88周期の$${B(z^3)-0.9-0.9i}$$のジュリア集合にも、同じような領域が存在します。
B(z^n)+c
$${B(z^n)+c}$$という形の関数の特徴を調べてみました。
![](https://assets.st-note.com/img/1715431459805-knOZSXf8IW.png?width=1200)
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$${B(z)^n+c}$$と同じく「$${n}$$が奇数のときは斜めの対称軸を1本持ち、偶数のときは何の対称性もない」という特徴があるようですが、$${B(z)^n+c}$$と違って対称軸の向きは変わらないようです。
また、$${n=2}$$のときのマンデルブロ集合は以前紹介した「バッファローフラクタル」と同じ形になるようです。
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![](https://assets.st-note.com/img/1715433424255-EjVLbxqaWD.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1715432468988-0DwvL7UmOc.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1715432698021-9tuwQPAO7R.png?width=1200)
ジュリア集合は、$${2n}$$回回転対称かつ線対称になるようです。