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今週のフラクタル36 (con(z)^8+c)
どうも、108Hassiumです。
今回は$${\text{con}(z)^8+c}$$($${\text{con}(z)}$$は$${z}$$の複素共役)に関するフラクタル図形をお届けします。
con(z)^8+c
![](https://assets.st-note.com/img/1711807322915-kvT43I1Pp4.png?width=1200)
$${\text{con}(z)^n+c}$$のマンデルブロ集合は$${n+1}$$回回転対称なので、$${\text{con}(z)^8+c}$$のマンデルブロ集合は9回回転対称になります。
![](https://assets.st-note.com/img/1711807539133-fgJiExgbOb.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711807584742-GATYwQtLn4.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711807471212-PGHkNTdBDi.png?width=1200)
拡大図です。
$${\text{con}(z)^8+c}$$のマンデルブロ集合に似た形だけでなく、$${z^8+c}$$のマンデルブロ集合に似た飛び地もたくさん見られます。
![](https://assets.st-note.com/img/1711819355158-kY49XO5Ez9.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711819534783-ItxyXHxvG2.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711819942411-V7IwJnXIw0.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711819863396-LyLxrMHNfI.png?width=1200)
ジュリア集合の特徴に関しては、収束領域の形状や回転対称性などが$${z^8+c}$$とよく似ています。
※☟$${z^8+c}$$の記事
![](https://assets.st-note.com/img/1711819471695-q2ane89FzA.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711818950261-OYVmCSEJ0b.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711819134266-GX79uLwozn.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711818712882-n1MCdyVd82.png?width=1200)
$${\text{con}}$$系関数の特徴がわかりやすく出ているジュリア集合です。
※☟$${\text{con}}$$系関数の特徴の説明がある記事
![](https://assets.st-note.com/img/1711819585187-5AWxNVmjn8.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711818180849-GOOHxz53vh.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711818564977-FGDyIQJJMc.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711818115023-MjZi4ZAhNa.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711818481744-0aebAfffXy.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711817803861-Zv6gg8mOmi.png?width=1200)
飛び地型のジュリア集合が複雑で美しい点は、$${z^8+c}$$と共通する特徴です。
![](https://assets.st-note.com/img/1711817192290-UQgNrLaWgL.png?width=1200)
2種類の異なるアーチ形接点が混在するジュリア集合です。
![](https://assets.st-note.com/img/1711816162526-gwzQ4OwXa2.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711816195431-jpMyjtcn6o.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711816221415-OVHRKzFNTa.png?width=1200)
アーチ形接点からもう1本枝が生えているジュリア集合です。
このような特徴のあるジュリア集合は今までは$${-\frac{c^2-3}{c^2\text{con}(z)^3-3\text{con}(z)}+1}$$等の分数関数を基にした関数でしか見たことが無かったので、単純な多項式関数で見られたのはかなり意外でした。
※☟$${-\frac{c^2-3}{c^2\text{con}(z)^3-3\text{con}(z)}+1}$$のジュリア集合が載っている記事
![](https://assets.st-note.com/img/1711800564894-7eew9FKVxr.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711800612823-1yYx50URUx.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711800656112-mgzs65dhG3.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711800692198-H98z0U9vCh.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711800728413-voATzXyff3.png?width=1200)
いつものです。
枝付きアーチ形接点
マンデルブロ集合上で$${\text{con}(z)^8+0.57+0.72i}$$や$${\text{con}(z)^8+1+0.27i}$$のような「アーチ形接点に枝が生えているジュリア集合」に対応する場所を観察してみます。
![](https://assets.st-note.com/img/1711863057161-M7czElJ5Tw.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711862559295-226wYyFA37.png?width=1200)
他の場所もいくつか調べてみたところ、どうやら以下のような共通点があるようでした。
![](https://assets.st-note.com/img/1711866031165-9axq8OigAS.png)
「もしや」と思って調べてみたところ、$${\text{con}(z)^2+c}$$でも以下のように「アーチ(略)」を見つけることができました。
![](https://assets.st-note.com/img/1711867356148-ubk5BRY2BQ.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1711867386975-nHGEL4nBSg.png?width=1200)