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変更履歴

2022/10/29 追記、数式を画像から変更

本文

スケトウダラ様(ref: https://twitter.com/sketodara_5009)が公募されてた微分(積分)方程式について (ref: https://twitter.com/sketodara_5009/status/1584804755544879105?s=20&t=3EMR1lz5OfepAMhil1xO5A)

まず、以下にお題の微分方程式を再掲。

$$
\displaystyle \frac{dv}{dt} = F_0 \left(1 - \frac{\int v dt}{x_0}\right)^4 - f.
$$

式１　お題の数式

変数、パラメータについて以下のように解釈する。
- $${F_0}$$, $${f}$$, $${x_0}$$ は定数
- $${v}$$ のみが未知関数
- $${v(0)}$$ 値は与えられているものとする。

$${v}$$ が不定積分なままだと絶望的なので、動画を参考に積分区間を明示。

$$
\displaystyle \frac{dv}{dt} = F_0 \left(1 - \frac{\int_0^t v(s) ds}{x_0}\right)^4 - f.
$$

式２　積分区間を明示したお題

微分と積分が混じっていると大変なので、以下のように変位$${x}$$を導入して変数変換する。

$$
\displaystyle x(t) = \int_0^t v(s) ds.
$$

式３　変数$${v}$$と変数$${x}$$の関係

最終的には$${x}$$を$${t}$$で微分すれば$${v}$$が得られるので、$${x}$$について式２の解が得られればよい。

式２を$${x}$$で書き換えると以下の通り。$${v = dx/dt}$$ に注意。

$$
\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = F_0 \left(1 - \frac{x}{x_0}\right)^4 - f.
$$

式４　$${x}$$で書いた式

見通しを良くするために、もう一段変数変換を行う。

$$
\displaystyle X = 1 - \frac{x}{x_0}.
$$

式５　変数$${X}$$と変数$${x}$$の関係式

変数$${X}$$を用いて式４を書き得え、以下を得る。

$$
\displaystyle x_0\frac{d^2X}{dt^2} = f - F_0 X^4.
$$

式６　$${X}$$ で書いた式

この微分方程式を解けば、逆算して最初のvの式の解を得ることができる(検算省略)。

後は式６を解けば良い…のですが、適切な方法がぱっと出てこなかったのでちょっと調べてみます。

追記 (2020/10/29)

10/26 にスケトウダラさん (@sketodara_5009) とアポリアさん(@aporia_exex) のやり取りが興味深かったのでその内容

1. frictionが0、つまり $${f = 0}$$ の場合の解析について。
   式６までは同じ発想みたいなので、そこから開始。

$${f = 0}$$ に注意して、両辺に $${dX/dt}$$ をかけ、左辺に移項。

$$
\displaystyle \frac{dX}{dt} \frac{d^2X}{dt^2} + A \frac{dX}{dt} X^4 = 0.
$$

式７　途中式１

$${A = F_0 / x_0}$$ としていることに注意。$${dX/dt = 0}$$となると色々まずいが、停止するまでを扱うと思えば大丈夫。

天下り的だが、以下の等式を確認する。

$$
\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{dX}{dt}\right)^2\right) = \frac{dX}{dt} \frac{d^2X}{dt^2}, \\
\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{A}{5}X^5\right) = A\frac{dX}{dt} X^4.
$$

式８　途中式２

式７に式８を代入して、整理する。

$$
\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{dX}{dt}\right)^2 + \frac{A}{5}X^5\right) = 0.
$$

式９　途中式３

外側を一回積分して、以下を得る。

$$
\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{dX}{dt}\right)^2 + \frac{A}{5}X^5 = B.
$$

式１０　超幾何関数を関係しているらしい式

積分定数$${B}$$ についてだが、初速 $${v}$$ と初期変位 $${x}$$ が両方とも $${0}$$、であるはずなので、それを条件にすると、$${B = A/5}$$ までは出てくる。