2023 防衛医科大学 数学
こんばんは．ぼっくすです．
早くも2023年の入試が始まりました．
隙間の時間を見ながらぼちぼち頑張っていきたいところです．
全部で９０分．
第１問から第４問は５択，第５問と第６問は数字埋め，第７問は記述になります．問題は年々易しくなっており，基礎力を養うにはいいなんいだと思います．
第１問
軌跡，領域，接線といろんな要素が詰まった問題です．１問目から処理が多いですが，１つ１つは基本的なことが集まっています．接点は文字でおく，解と係数の関係を用いて計算を楽にするなどいろいろな工夫が施せると思います．後半は領域の式が複雑であるので，因数分解できないかと考えたところ，想定通り因数分解できました．結局，２直線からなる領域であったため，$${k}$$を変化させて，放物線が２直線よりも上にあるための条件を考えます．ほかの問題と比較すると計算が重めなので，できる限り早く解いて勢いづけるかがポイントだと思います．
第２問
対数方程式です．難しくはなく基本的ですが，真数条件をうっかり忘れてしまうと大変な目にあいます．解が真数条件を満たしているかの確認で１つの解が少しシビアです．あとは，たすき掛けがすぐにひらめけるかどうかでしょうか？
第３問
数列と極限の問題です．今回のマーク式の問題で一番難しい問題かと思います．前半は$${a_{n+1}}$$と$${b_{n+1}}$$を，$${a_{n}}$$と$${b_{n}}$$を用いて表すだけなので難しくないです．(*)ではただ単純に$${\sqrt{3}}$$がついているものとついていないもので係数比較していますが，ここは厳密な議論が必要となります．また，$${a_{1}}$$と$${b_{1}}$$が有理数と書かれていないので初項が１つに定まらないのですが，ここでは$${a_{1}=\frac{1}{10},b_{1}=\frac{1}{2}}$$として議論しました．後半については，漸化式を解こうとすると計算が複雑でいたずらに時間が溶けます．先に，$${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{1+5\sqrt{3}}{10} \right)^i}$$を計算し，$${\sqrt{3}}$$がついていないものを抽出すればすぐに答えが出ます．漸化式を解こうという欲望を抑え，方向転換ができたかどうかがカギでしょう．
第４問
複素数平面の問題です．今回の問題の中で最も易しいでしょう．条件１，２から$${\triangle OP_{1}P_{2}}$$の形状を決定し，条件３は四角形$${OP_{1}P_{3}P_{2}}$$が平行四辺形になるということに気付けば一発です．３分くらいで答えを出したいところ．
第５問
場合の数の問題です．１問目は重複組み合わせの公式を利用，２問目は１問目の答えから空箱が存在する場合を除けばオッケーです．３問目は「どの箱にも白玉または黒玉が２個以上入っている」という条件がかなり厳しいので，黒玉の配置の仕方を考えながら場合分けしました．当日の試験の緊張感の中で最適な方針を立てるのは難しいのではないでしょうか？
第６問
三角関数と数Ⅲ積分の問題です．典型問題であり，落とせないでしょう．交点の座標が具体的な式で表すことができないため，文字でおいて処理します．丁寧に計算して完解したいですね．
第７問
空間図形の問題です．空間座標が与えられていて，角度があるので内積で処理するのが順当でしょう．(1)はＡの座標が２通りあるのでそれによって場合分けが生じてしまいます．(どうしてＡの座標を１つに定めなかったのだろう．) 基本的に数式でゴリゴリやって実数の存在条件(逆像的発想)で答えを導きだしました．(2)も基本的方針は同じです．また，求めるものは体積になるので，Ａの座標で求める体積が変わりません．したがって，A(2,0,0)とおいて，議論を進めていきます．まず，AQの長さが最小となるための条件を考えると，すぐにＱの x 座標の最大値を求めるということがわかります．あとは(1)と同様に数式でゴリゴリ，実数の存在条件(逆像的発想)で x の範囲を導き出します．あとは体積を求めるために必要なものはＱの z 座標の絶対値になるので，z を求めて体積を出して終わりです．計算が複雑なので正しい答えを出せているか不安です．
追記:答えが間違っておりましたので修正しました。ご迷惑をおかけし大変申し訳ございません。コメントしていただいた方ありがとうございます。
以上になります．昨年までは平面図形が出ていたのですが，今年は出題がなかったことが意外でした．今年はあまりひねりの無い基礎的なストレートな問題が多く良問が多い印象でした．今年もどのような入試問題が出てくるか楽しみです．心身に余裕が出たらまたブログを書き込もうと思います．
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