Gronwallの補題を丁寧に証明してみる

Lemma (Gronwall's inequality)

$${u(t), f(t), K(t)}$$は区間$${[a, b]}$$で連続な関数で，この区間上$${K(t)\geq 0}$$であるとする．任意の$${t \in [a, b]}$$に対して

$$
u(t) \leq f(t) + \int_a^t K(s) u(s) ds
$$

が成り立つならば任意の$${t \in [a, b]}$$に対して

$$
u(t) \leq f(t) + \int_a^t K(s) f(s) \exp\left( \int_s^t K(\tau) d\tau\right) ds
$$

が成り立つ．

証明

$${U(t) = \int_a^t K(s) u(s) ds}$$とおくと，Lemmaの仮定より$${u(t)\leq f(t) + U(t)}$$となる．ゆえに，

$$
\begin{align*}
U'(t) &= \frac{d}{dt}\int_a^t K(s)u(s)ds\\
&= K(t)u(t)\\
&\leq K(t)f(t) + K(t)U(t)
\end{align*}
$$

となる．ここで，

$$
k(t) = \exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}
$$

とおくと，

$$
k(t)U(t) = \int_a^t K(s)u(s)ds \cdot\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}
$$

となり，両辺を$${t}$$で微分すると

$$
\begin{align*}
(k(t)U(t))' &= K(t)u(t)\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)} \\&+ \int_a^t K(s)u(s)ds\cdot(-K(t))\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&\leq K(t)\left( f(t) + \int_a^t K(s)u(s)ds \right)\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&+\int_a^t K(s)u(s)ds\cdot(-K(t))\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&=K(t)f(t)\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}
\end{align*}
$$

を得る．最左辺と最右辺について，$${a}$$から$${t}$$まで積分し，積分変数を$${s}$$とすると

$$
\begin{align*}
k(t)U(t)\leq\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^s -K(\tau)d\tau \right)}ds
\end{align*}
$$

となる．Lemmaの仮定より

$$
\begin{align*}
\{u(t) - f(t)\}\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)} &\leq\int_a^t K(s) u(s)ds\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)}\\
&=k(t)U(t)
\end{align*}
$$

に注意すると

$$
\begin{align*}
\{u(t) - f(t)\}\exp{\left( \int_a^t -K(\tau)d\tau \right)} \leq\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^s -K(\tau)d\tau \right)}ds
\end{align*}
$$

と下から評価することができる．両辺に$${\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau \right)}}$$をかけると

$$
\begin{align*}
u(t)-f(t)&\leq\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^s -K(\tau)d\tau \right)}ds\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau \right)}\\
&=\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau-\int_a^s K(\tau)d\tau\right)}ds\\
&=\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_a^t K(\tau)d\tau+\int_s^a K(\tau)d\tau\right)}ds\\
&=\int_a^t K(s)f(s)\exp{\left( \int_s^t K(\tau)d\tau\right)}ds
\end{align*}
$$

が得られ，したがって所望の不等式

$$
u(t) \leq f(t) + \int_a^t K(s) f(s) \exp\left( \int_s^t K(\tau) d\tau\right) ds
$$

の成立が示された．□