新企画に乗ってみた。

私のnoteをフォローしていただいている桃子さんが『新企画を立ち上げた。』というnoteをアップしました。

ざっくりとした言い方をすると次の問題の、特に (3) の答えを募集しているわけですが、答えだけ与えても面白くないので条件を提示してみたいと思います。

(1/r)+(1/s)=1を満たすr,sを考える。ただし、rは0以上2未満の無理数、sは2より大きい無理数だとする。[mr]と[ns]（m,nは1以上の整数とする）を調べたい。
ただし実数xに対して[x]はx以下の最大の整数だと定義する。
（1）r=√2のとき、sと[r],[2r],[3r],[4r],[5r],[s],[2s],[3s],[4s],[5s]を求めよ。
（2）s=√6のとき、rと[r],[2r],[3r],[4r],[5r],[s],[2s],[3s],[4s],[5s]を求めよ。
（3）あるrを設定すると[mr]を小さい順に10個求めると1,3,5,7,8,10,12,14,15,17となる。このときの(r,s)をできるだけ多く求めよ。

まず最初に (1/r) + (1/s) = 1 と 0 ≦ r < 2 かつ s > 2、r, s は無理数であるという条件から r と s の条件を詳細に見ていきます。

まず、0 < 1/s = 1 - (1/r) < 1/2 であるので、1/2 < 1/r < 1 すなわち 1 < r < 2 となります。したがって、r の範囲は実際にはもっと狭くなります。

逆に、1 < r < 2 のとき 1/2 < 1/r = 1 - (1/s) < 1 であるので、s > 2 が得られます。

したがって、(1/r) + (1/s) = 1 を満たしているならば、1 < r < 2 と s > 2 は同値となります。

また、r = s/(s - 1) かつ s = r/(r - 1) であるので、r と s の一方が有理数であるならばもう一方も有理数となるため、逆に一方が無理数であるならばもう一方も無理数になることになります。

以上をまとめると、(1/r) + (1/s) = 1 を満たしているならば、" r が 1 < r < 2 を満たす無理数である" か、" s が s > 2 を満たす無理数である" か、どちらかを満たせば大問の条件をすべて満たすことになります。

また、r が 1 より大きいので、正の整数 m < m' (m + 1 ≦ m' ) に対して m'r - mr = (m' - m) r > 1 すなわち m'r > mr + 1 となります。したがって、[m'r] ≧ [mr] + 1 となります。

要するに、異なる正の整数 m, m' に対して [mr] と [m'r] は異なる数になります。

このことを念頭に話を進めていきたいと思います。

まず、(1) ですが、これは(めんどうですが)単純に計算を行えばいいだけです。

r = √2 = 1.41421356… なので、s = √2/(√2 - 1) = √2 (√2 + 1) = 2 + √2 = 3.41421356… が得られます。これを使うと、

[r] = 1, [2r] = 2, [3r] = 4, [4r] = 5, [5r] = 7
[s] = 3, [2s] = 6, [3s] = 10, [4s] = 13, [5s] = 17

となります。(計算間違いしてないですよね？汗)

同じように (2) についても考えてみると、s = √6 = 2.449489… なので、r = √6/(√6 - 1) = √6 (√6 + 1)/5 = (6 + √6)/5 = 1.689897... となります。したがって、

[r] = 1, [2r] = 3, [3r] = 5, [4r] = 6, [5r] = 8
[s] = 2, [2s] = 4, [3s] = 7, [4s] = 9, [5s] = 12

となります。

さて、(3) です。この問題は r について条件付けを行えば、先ほどの考察から勝手に s の方も求まります。

ということで、r の条件を求めてみると
[r] = 1　⇔　1 ≦ r < 2,
[2r] = 3　⇔　3 ≦ 2r < 4　⇔　3/2 ≦ r < 2,
[3r] = 5　⇔　5 ≦ 3r < 6　⇔　5/3 ≦ r < 2,
[4r] = 7　⇔　7 ≦ 4r < 8　⇔　7/4 ≦ r < 2,
[5r] = 8　⇔　8 ≦ 5r < 9　⇔　8/5 ≦ r < 9/5,
[6r] = 10　⇔　10 ≦ 6r < 11　⇔　5/3 ≦ r < 11/6,
[7r] = 12　⇔　12 ≦ 7r < 13　⇔　12/7 ≦ r < 13/7,
[8r] = 14　⇔　14 ≦ 8r < 15　⇔　7/4 ≦ r < 15/8,
[9r] = 15　⇔　15 ≦ 9r < 16　⇔　5/3 ≦ r < 16/9,
[10r] = 17　⇔　17 ≦ 10r < 18　⇔　17/10 ≦ r < 9/5
となります。すべての共通部分を求めると 7/4 ≦ r < 16/9 となります。したがって、7/4 ≦ r < 16/9 を満たす無理数 r であればすべて条件を満たします。

ちなみに、√3 = 1.732... < 1.75 = 7/4 なので √3 は条件を満たしません。ですので、r はあまりきれいな数にはなりそうにありません。

上記の r を求めるために

3969/1296 = (63/36)^2 = (7/4)^2 ≦ r^2　　　　　　　　
　　　　　　　　< (16/9)^2 = (64/36)^2 = 4096/1296

として考えてみます。3970 ～ 4095 の間には平方数が存在しないので、この区間の整数を x として r = √x / 36 としてあげれば条件を満たすことになります。

例えば、x = 3970 = 2 × 5 × 397 とおくと、r = √3970 /36 = 63.007…/36 = 1.750… は無理数で、2r = 3.5..., 3r = 5.25..., 4r = 7.00..., 5r = 8.75..., 6r = 10.50..., 7r = 12.25..., 8r = 14.00..., 9r = 15.75..., 10r = 17.50...
となるので、条件を満たします。

このときの s の値は s = r/(r-1) = √3970 /(√3970 - 36) = √3970 ( √3970 + 36) / 2674 = (3970 + 36√3970) / 2674 = 2.3329... が得られます。

まとめると、(r, s) = (√3970 / 36, (3970 + 36√3970)/ 2674) が答えになります。

もう少し分かりやすい例としては r = 5√2 / 4 = 1.76776... があります( r^2 = 50/16 = 4050/1296 で条件を満たしています)。このときの s の値は s = 5√2 / (5√2 - 4) = 5√2 (5√2 + 4)/(50 - 16) = (50 + 20√2)/34 = 5(5 + 2√2)/17 となるので、(r, s) = (5√2/4 , 5(5 + 2√2)/17) も条件を満たします。

同じ調子であと124個の解を確認してもいいですが、もうすぐ日が暮れますのでこの辺で終わりにしたく存じます。(天気悪くて日は出てませんが。笑)