123123123…

Twitter上にこんな問題が転がっていたので考えてみました。

次の数列の一般項を求めよ。

1,2,3,1,2,3,1,2,3...

— 数学を愛する会 (@mathlava) July 6, 2020

厳密に書いてみましょう。

[問題] 数列 a_n = 1 (n=3k+1のとき), a_n = 2 (n=3k+2のとき), a_n = 3 (n=3k+3のとき) の一般項を求めよ．ここで，kは非負整数である．

さて、どうしたものか。

多分、最も簡単に思いつくのは a_n = (n-1) mod 3 + 1 でしょう。ここで (n-1) mod 3 は n-1 を 3 で割った余りです。

同じように a_n = n - [ (n-1)/3 ] × 3 と書くこともできます。ここで、[ (n-1)/3 ] は n-1 を 3 で割った整数部分で、[　] はガウスの記号と呼ばれているものです。

これら 2つの式は使っている記号が違うだけで同一です。

では、mod と [　] を使わないで表現することは可能でしょうか？例えば、四則演算(指数を含む)だけで表現することは可能か？

結果から言えば可能です。ただし、虚数単位 i を使います。

まず、上記の数列を一度漸化式で表してみましょう。

a_1=1, a_2=2
a_n = 6 - a_{n-1} - a_{n-2} (n≥3のとき)

という風に3項間の漸化式で表現することができます。そうすると、b_n = a_n - 2 とおくことで

b_n + b_{n-1} + b_{n-2} = 0

という漸化式が得られるので、x^2 + x + 1 = 0 の解(x^3 = 1の虚数解) ω, ω^2 を用いて

b_n = A ω^{n} + B ω^{2n}

が得られます。あとは初期条件を使って A と B を求めれば終わりです。求めると次のような式が出てきます。(有理化はしていません。)

ゆえに

これが出てくるならば三角関数を用いた式も出てきます。

これら 2つの式も使っている記号の問題で同一と言っていいでしょう。

(虚数の式の {　} の中の式は下の式の sin の項を取り出すためのもので、sin は虚部に現れ、さらには 2倍されて取り出されるために因数部分が 1/2i 倍違う。)

ではさらに問題。上記の 4つ以外の表現方法はあるでしょうか？

もちろん、これまでに出て来た mod, ガウスの記号，三角関数，虚数単位を使うことは NG です。

私の中ではこれ以外に見つからないんですよね。もちろん、多少の違うものは作れますが、これら 4つの道具を使わない解は見つからない。Twitter 上のコメントを見てもこの範疇からでるものはありませんでした。

もしありましたらお教えいただけるとありがたいです。
yumgoongtom@gmail.com までご連絡ください。笑