分数に関する整数問題

1問目

次の問題を解いてみたい．

2以上の任意の整数$${k}$$に対し，$${\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}$$を満たす自然数$${n, m}$$が存在することを示せ．

自作

一瞬，なんじゃこりゃと思うだろうが，簡単に示すことができる．

その前にまずは，実験してみよう．

$$
\frac{1}{15}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}
$$

を満たす$${n, m}$$があるかといえば，例えば，$${n=6, m=10}$$がある．

今の例は完全に勘で見つけたのであるが，存在性を示す問題なので，極端な場合でも十分だ．

1問目の解答

そこで，隣接する整数を考えてみよう．
$${k}$$を2以上の整数とする．$${k-1}$$は自然数であるから，

$$
\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{k-(k-1)}{(k-1)k}=\frac{1}{(k-1)k}
$$

となる．左辺の第2項と右辺とを入れ替えて，

$$
\frac{1}{k-1}-\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{k}
$$

となる．故に，$${n=k-1, m=(k-1)k}$$とすればよい．

分かってみれば，なんてことない問題だった．

2問目

それでは，1問目を応用して，次の問題を見てみよう．

$${p}$$を素数とする．$${\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}$$を満たす自然数$${n, m}$$の組をすべて求めよ．

自作

これもまた謎の問題感は拭えないが，とにかく解こう．

1問目を解いたことにより，次の例が思いつけば優秀である．

$$
\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}=\frac{1}{p(p+1)}, \frac{1}{p}-\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p+1}
$$

また，

$$
1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
$$

の両辺を$${p}$$で割ることで，

$$
\frac{1}{p}=\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p}
$$

を得られれば，なおのこと優秀である．あとは，それ以外は見つからないということを述べるだけである．

2問目の解答

では見ていくことにする．
一般性を失うことなしに，$${n\leqq m}$$とすることができる．すると，

$$
\frac{2}{m}\leqq \frac{1}{p}=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\leqq\frac{2}{n}
$$

より，$${n\leqq 2p\leqq m}$$を得る．また，

$$
\frac{1}{p}=\frac{1}{n}+\frac{1}{m} > \frac{1}{n}
$$

より，$${p< n}$$を得る．以上で，$${p < n\leqq 2p\leqq m}$$が示された．

そこで$${m}$$について解いてみると，

$$
m=\frac{np}{n-p}=\frac{(n-p)p+p^{2}}{n-p}=p+\frac{p^{2}}{n-p}
$$

となる．$${m-p}$$は$${p}$$以上の自然数であるから，$${\frac{p^{2}}{n-p}}$$も自然数とならなければならない．$${p^{2}}$$の約数は，$${1, p, p^{2}}$$となる．一方，$${n-p=1, 2, \ldots, p}$$を取りうるから，$${n-p=1, p}$$となるほかない．故に，$${(n, m)=(p+1, p(p+1)), (2p, 2p)}$$となる．

仮定を見直せば，$${(n, m)=(p(p+1), p+1)}$$も解としてある．

以上で，$${\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}$$を満たす自然数$${n, m}$$の組は，$${(n, m)=(p+1, p(p+1)), (2p, 2p), (p(p+1), p+1)}$$である．

まとめ

今回は2問解いたが，発想は実に素朴なものだった．

1問目は，思いつくのが自然ではないところに不満が残る．他に分解方法があるのかもしれない．

2問目は，そこそこの難易度なので，入試問題にちょうどいいのではないかと思った．（もしかして既に同じような問題があったりして．）

ここまでお読みくださりありがとうございます．