力学§６：２体問題

§６．１　重心運動と相対運動

２つの質点(質量m_1, 位置ベクトルr_1 および 質量m_2, 位置ベクトルr_2)を考える。内力（相互作用）について、

が成り立つ。２つの質点に対する運動方程式は、

であるので（F_1とF_2は外力）、両式を足すと

が得られる。ここで、重心

を定義すると、運動方程式は

と書き直せる。全質量M=m_1 + m_2 である。従って、重心に全質量があると考え、外力の総和がはたらいていると考えればよい。

次に、今度は２つの質点の運動方程式を足し算でなく引き算する。つまり、相対位置ベクトル

を考える。運動方程式より、

換算質量μ

を定義すると、

となる。一見複雑であるが、例えば、外力が重力のときは、右辺第二項と第三項が打ち消しあい、

と式が簡単になる。

以上より、２つの質点(質量m_1, 位置r_1 および 質量m_2, 位置r_2)の運動は、①質量M, 位置r_Gと②質量μ, 位置rの２つの質点の運動として記述できる。

問６．１　以下の式を示せ。

また、全運動量の和は、

となり、重心の運動量に等しい。

全運動エネルギーは、

となり、重心の運動エネルギーと相対運動のエネルギーの和として書ける。

全角運動量は、

となり、重心の角運動量と相対運動の角運動量の和として書ける。

問６．２　以下の図のように、ばねでつないだ２つの重りの自由落下を考える。（伸び縮みしながら落下する。）

重心の運動と相対運動を

を使って表現することで、２つの重りの運動を解析せよ。

§６．２　ケプラーの法則

太陽と地球の相対運動を考える。先ほどの「２つの質点」が太陽と地球になり、前節を参考にすると重心運動と相対運動に分けて議論する。特に興味があるのは相対運動である。

まず、質量について、太陽の質量＞＞地球の質量なので、状況は m_s >> m_p に相当する。つまり、換算質量は、

と考えてよい。

太陽の位置に対する地球の位置は、

で表現できる。太陽と地球の質量の差を考慮すると、

なので、太陽は重心位置に留まっていると見なせ、地球の運動のみを考えればよいことになる。つまり、重心運動は考えなくてよく、相対運動のみを考えればよいことになる。（地球だけの一質点の運動と近似できる。）

さて、地球と太陽の間にはたらく力は万有引力なので、

より、相対運動の運動方程式は、

と書けることになる。