[ 中学の数学 ] 1 から 100 までを足し合わせるといくつになる？（ガウスの公式）

2024年9月11日 22:53

$${1 + 2 +3 + \cdots + 100}$$ はいくらか。

$$
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ \cdots + 100
$$

上の計算をする。しかし，計算するのは大変ですね。

sum = 0 
for num in range(1, 101): 
    sum += num print(sum)

Python でコードを書くという方法です。このコードでは range(1, 101)を使って，1から100までの数字を sum に次々と足し合わせていき，最後，print(sum) で sum の内容を出力しています。

これだと人間が計算する必要はありませんが，コードを書くのに時間がかかってしまいますね。

数学者のガウスが7歳のとき，この問題と同じ問題を授業中に先生から出されました。ガウスは Python でコードを書くこともなく，またひとつひとつ 1 から 100 まで足し合わせることなく，文字通り，すぐさま 5050 という正解を導きました。

Python のコードで書くと次のとおりです。

n = 100 
result = n * (n + 1) // 2 
print(result)

1 から 100 までの和は，$${\frac{n * (n + 1)}{2}}$$ で求めることができます。これをガウスの公式といいます。ガウスの公式はどのようにして導かれるのか。わかりやすいように 1 から 10 の場合で考えてみましょう。下の図１のように 1 から 10 まで並べてみます。

それをひっくり返してみます（図２）。赤色に塗り替えておきます。

そして，図１と図２をくっつけます。図３のようになります。

行を見てください。どの行をとっても、図１の数と図２の数を足すと必ず11になりますね。1行はに必ず11個あります。

行数は10行ですから、全体の合計は$${11 \times 10=110}$$となります。しかし、図３は図１を2つ合わせたものなので、求める答えは110÷2=55となります。

これでガウスの公式が導けましたね。

私たちの知りたいのは，$${1 + 2 +3 + \cdots + 100}$$ はいくらかということでした。ガウスの公式を使うと，次のような式を立てることができます。

$$
\frac{100 \times (100+1)}{2}
$$

答えは　5050 です。たしかに瞬時に解けます。