数検1級 ★2 三角関数の微積

問題

次の問いに答えなさい。ただし、$${arcsinx}$$は$${-\dfrac{π}{2}}$$以上$${\dfrac{π}{2}}$$の値を取るものとする。

$${(1)}$$次の不定積分を求めなさい。

$$
\int arcsin2x\,dx
$$

$${(2)}$$ $${xy}$$平面のグラフ$${y=arcsin2x \Bigl(-\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq\dfrac{1}{2}\Bigl)}$$と$${x}$$軸、および$${2}$$直線$${x=-\dfrac{1}{2},x=\dfrac{\sqrt3}{4}}$$で囲まれた部分の面積を求めなさい。

解答

　可能な限り公式に頼らず、逆三角関数の微積を丁寧に導出したい。積分計算は煩雑になるため、何を計算しているかを意識してミスを防げるようにしたい。

(1)

準備のために、$${arcsin2x}$$を微分する。

$$
y=arcsin2x\Leftrightarrow2x=siny\\
$$

両辺を$${x}$$で微分すると

$$
2=\dfrac{dy}{dx}cosy\\
\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{cosy}
$$

ここで$${cosy=\sqrt{1-sin^2y}=\sqrt{1-4x^2}}$$であるため、

$$
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}
$$

積分に戻る。部分積分で解いていく。

$$
\begin{split}
\int 1\cdot arcsin2x\,dx&=x\cdot arcsin2x -\int x\cdot \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx\\
&=x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{4}\int\Bigl(1-4x^2\Bigl)'\cdot\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx\\
&=x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}+C
\end{split}
$$

$${\therefore \int arcsin2x\,dx=\underline{x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}+C}}$$

(2)

グラフのイメージは以下の通り。よって積分区間を分けて考える。

求める面積を$${S}$$とすると計算は以下のようになる。

$$
\begin{split}
S&=\int_{\frac{1}{2}}^0 -arcsin2x\,dx+\int_0^{\frac{\sqrt3}{4}}arcsin2x\,dx\\
&=-\Bigl[x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigl]_{\frac{1}{2}}^0+\Bigl[x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigl]_0^{\frac{\sqrt3}{4}}\\
&=-\Bigl\{\bigl(0+\dfrac{1}{2}\bigl)-\bigl(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{π}{2}+0\bigl)\Bigl\}+\Bigl\{\bigl(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{π}{3}+\dfrac{1}{4}\bigl)-\bigl(0+\dfrac{1}{2}\bigl)\Bigl\}\\
&=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{π}{4}+\dfrac{\sqrt3π}{12}-\dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{3+\sqrt3}{12}π-\dfrac{3}{4}
\end{split}
$$

$${\therefore S=\underline{\dfrac{3+\sqrt3}{12}π-\dfrac{3}{4}}}$$