2022年 横浜市立大学 前期 データサイエンス 大問2

$${0°\le{\theta}\le{360°}}$$の範囲で$${\theta}$$についての関数$${f(\theta)=\cos{2\theta}-2\sin{\theta}}$$を考えるとき, 以下の各問いに答えなさい.
(1) $${t=\sin{\theta}}$$とおくとき, $${f(\theta)}$$を$${t}$$で表しなさい.
(2) $${f(\theta)}$$の最大値を求めなさい. また、そのときの$${\theta}$$の値をすべて求めなさい.
(3) $${C}$$を整数とします. $${\theta}$$についての方程式$${f(\theta)+C=0}$$が異なる2つの解をもつような$${C}$$の値をすべて求めなさい.

解答
(1)
$${\cos{2\theta}=1-2\sin{\theta}}$$より,
$${f(\theta)=1-2t^2-2t=-2t^2-2t+1}$$となる.

(2)
(1)より, $${g(t)=-2t^2-2t+1\space (-1\le{t}\le{1})}$$とすると,
$${g(t)=^2(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}}$$だから,
$${t=-\frac{1}{2}}$$のときに最大値$${\frac{3}{2}}$$をとる.
よって, $${f(\theta)}$$の最大値は$${\dfrac{3}{2}}$$であり,
そのときの$${\theta}$$は$${\sin{\theta}=-\frac{1}{2}}$$より$${\theta=210°,330°}$$である.

(3)
$${\theta}$$の範囲より, $${\theta}$$と$${t}$$の対応は
$${t=\pm{1}}$$のとき, 対応する$${\theta}$$は1個
$${-1\lt{t}\lt{1}}$$のとき, 対応する$${\theta}$$は2個
存在することがわかる.
よって, $${f(\theta)+C=0}$$, すなわち$${f(\theta)=-C}$$の共有点を考えると,
これは$${y=f(\theta)}$$と$${y=-C}$$の共有点と等しく, これを$${y=g(t)}$$との共有点で考えると,
条件を満たすのは
・$${g(t)}$$と$${-C}$$が, $${t=\pm{1}}$$を含まない1点を共有する
・$${g(t)}$$と$${-C}$$が, $${t=\pm{1}}$$の1点を共有する
のいずれかである.
(2)より, この条件を満たす$${C}$$の範囲は
$${-C=\frac{3}{2}, 1\gt{-C}\gt{-3}}$$より, $${C=-\frac{3}{2}, -1\lt{C}\lt{3}}$$
となる.
これを満たす整数の値は$${C=0,1,2}$$の3つである.