2022年 鹿児島大学 前期 理(化/生)他 大問2

次の各問いに答えよ.
(1) $${a,b,c}$$が$${1}$$でない正の実数のとき, 次の等式が成立することを証明せよ.
　　$${\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}}$$
(2) $${s=\log_{10}{2},t=\log_{10}{3}}$$とするとき, $${\log_{30}{600}}$$を$${s}$$と$${t}$$を用いて表せ.
(3) 次の関数の最大値と最小値を求めよ. またそのときの$${x}$$の値を求めよ.
　　$${y=2(\log_5{x})^2-\log_5{x}^8+6 \space(1\le{x}\le{125})}$$

解答
(1)
$${\log_a{b}=x}$$とおく. $${a,b}$$の条件より$${x}$$は$${0}$$でない実数である.
対数の定義より, $${b=a^x}$$
両辺ともに正であるから, 底$${c}$$の対数がとれて
$${\log_c{b}=\log_{c}{a^x}=x\log_c{a}}$$
$${a,c}$$の条件より$${\log_c{a}\not=0}$$だから
$${x=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}}$$
$${\therefore \log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}}$$

(2)
(1)より$${\log_{30}{600}=\frac{\log_{10}{600}}{\log_{10}{30}}}$$
$${\log_{10}{600}=\log_{10}(2\times{3}\times{10^2})=s+t+2}$$
$${\log_{10}{30}=\log_{10}(3\times{10})=t+1}$$
$${\therefore \log_{30}{600}=\dfrac{s+t+2}{t+1}}$$

(3)
$${\log_5{x}=t}$$とおくと,
与式は$${y=2t^2-8t+6}$$と表され, 定義域は$${0\le{t}\le{3}}$$となる
ここで$${2t^2-8t+6=2(t^2-4t+3)=2(t-1)(t-3)}$$であることと,
$${2t^2-8t+6=2(t-2)^2-2}$$であることから,
この2次関数は$${(t,y)=(2,-2)}$$を頂点とした下に凸なグラフで, $${t=1,3}$$で$${y=0}$$となることがわかる.
よって, この2次関数は,
$${t=2}$$のとき, 最小値$${-2}$$をとり,
$${t=0}$$のとき, 最大値$${6}$$をとる.
したがって, $${t}$$を$${x}$$に戻すと
$${x=25}$$のとき, 最小値$${-2}$$をとり,
$${x=1}$$のとき, 最大値$${6}$$をとる.