2022年 山口大学 前期 共同獣医学 大問7

1辺の長さが$${1}$$である正四面体$${OABC}$$において, $${\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}}$$とおくとき, 次の問いに答えなさい.
(1) 線分$${OA}$$を$${1:2}$$に内分する点を$${P}$$とする. $${\overrightarrow{OP}}$$を$${\overrightarrow{a}}$$を用いて表しなさい.
(2) 3点$${A,B,C}$$で定まる平面$${\alpha}$$に対して点$${O}$$と対称な位置にある点を$${O^{\prime}}$$とするとき, $${\overrightarrow{OO^{\prime}}}$$を$${\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}}$$を用いて表しなさい.
ただし, 2点$${O,O^{\prime}}$$が平面$${\alpha}$$に対して対称であるとは, 直線$${OO^{\prime}}$$が$${\alpha}$$と垂直であり, 線分$${OO^{\prime}}$$の中点が$${\alpha}$$上にあるときをいう.
(3) 点$${X}$$が$${\triangle{ABC}}$$上を動く. $${OX+XP}$$の値が最小となるとき, $${\overrightarrow{OX}}$$を$${\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}}$$を用いて表しなさい.

解答
(1)
$${P}$$は$${OA}$$を$${1:2}$$に内分する点だから
$${\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}}$$

(2)
$${OABC}$$は1辺の長さが$${1}$$の正四面体だから
$${|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1}$$
$${\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}・\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}}$$
である.
$${OO^{\prime}}$$と$${\alpha}$$の交点を$${H}$$とすると
$${\overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OO^{\prime}}}$$であり, かつ$${\overrightarrow{OH}\perp{\alpha}}$$, すなわち$${\overrightarrow{OH}\perp{\overrightarrow{AB}}, \overrightarrow{OH}\perp\overrightarrow{AC}}$$である.
いま$${H}$$は$${\alpha}$$上の点なので, 実数$${s,t}$$を用いて
$${\overrightarrow{OH}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}}$$と表せる.

$${\overrightarrow{OH}\perp{\overrightarrow{AB}}}$$より
$${\lbrace{s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}}\rbrace・(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0}$$
これを整理して$${-\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}t=0}$$, すなわち$${s=t}$$を得る.
$${\overrightarrow{OH}\perp\overrightarrow{AC}}$$より
$${\lbrace{s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}}\rbrace・(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=0}$$
これを整理して$${\frac{3}{2}s=\frac{1}{2}}$$, すなわち$${s=\frac{1}{3}}$$を得る.
よって, $${\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}}$$となるから
$${\overrightarrow{OO^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{c}}$$である.

(3)
$${O,O^{\prime}}$$は$${\alpha}$$について対称なので, $${OX=O^{\prime}X}$$が成り立つ.
よって, $${O^{\prime}X+XP}$$が最小となるような$${X}$$について考える.
$${O^{\prime}}$$と$${P}$$は$${\alpha}$$を挟んで反対側にあるから,
$${O^{\prime}X+XP}$$が最小となるのは, $${P,X,O^{\prime}}$$が一直線上に並ぶときである.
このとき, $${X}$$は線分$${PO^{\prime}}$$上の点であるから, $${0\lt{k}\lt{1}}$$なる実数$${k}$$を用いて
$${\overrightarrow{PX}=k\overrightarrow{PO^{\prime}}}$$と表せる.
これを$${O}$$を始点としたベクトルに書き換えると
$${\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP}=k(\overrightarrow{OO^{\prime}}-\overrightarrow{OP})}$$
$${\Leftrightarrow \overrightarrow{OX}=k\overrightarrow{OO^{\prime}}+(1-k)\overrightarrow{OP}}$$
(1),(2)より
$${\overrightarrow{OX}=k(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c})+(1-k)\frac{1}{3}\overrightarrow{a}}$$
$${=(\frac{1}{3}k+\frac{1}{3})\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}k\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}k\overrightarrow{c}}$$
ここで$${X}$$が$${\alpha}$$上の点であることから
$${\frac{1}{3}k+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}k+\frac{2}{3}k=1}$$
これを解いて$${k=\frac{2}{5}}$$を得る.
ゆえに, $${\overrightarrow{OX}=\frac{7}{15}\overrightarrow{a}+\frac{4}{15}\overrightarrow{b}+\frac{4}{15}\overrightarrow{c}}$$となる.
このとき, $${\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}}$$の各係数はそれぞれ$${0}$$より大きく$${1}$$より小さいから,
確かに$${X}$$は$${\triangle{ABC}}$$の内部に存在しているといえる.
したがって, $${\overrightarrow{OX}=\dfrac{7}{15}\overrightarrow{a}+\dfrac{4}{15}\overrightarrow{b}+\dfrac{4}{15}\overrightarrow{c}}$$である.