2022年 小樽商科大学 前期 商 第一群 大問4

$${a}$$は実数で$${a>0}$$とする。
関数$${f(x)=x^3-3x^2-24x}$$の$${a \le x \le a+2}$$における最小値を求めよ

解答
$${f^{\prime}(x)=3x^2-6x-24}$$だから
$${f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3(x-4)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=4,-2}$$
よって$${f(x)}$$の増減表は以下のようになる

$$
\begin{array}{c:c:c:c:c:c}
x & & -2 & & 4 \\
f^{\prime}(x) & + & 0 & - & 0 & + \\
f(x) & \nearrow & 28 & \searrow & -80 & \nearrow \\
\end{array}
$$

・$${a+2 < 4}$$、すなわち$${0 < a < 2}$$のとき
最小値をとるのは$${x=a+2}$$のときで、その値は
$${f(a+2)=(a+2)^3-3(a+2)^2-24(a+2)}$$
$${=(a+2)(a^2+4a+4-3a-6-24)}$$
$${=(a+2)(a^2+a-26)}$$
$${=a^3+3a^2-24a-52}$$
・$${a>4}$$のとき
最小値をとるのは$${x=a}$$のときで、その値は
$${f(a)=a^3-3a^2-24a}$$
・$${2 \le a \le 4}$$のとき
最小値をとるのは$${x=4}$$のときで、その値は増減表より$${f(4)=-80}$$
以上より求める最小値は

$$
\begin{cases}
a^3+3a^2-24a-52 &\space (0 < a < 2) \\
-80 &\space (2 \le a \le 4) \\
a^3-3a^2-24a &\space (4 < a)
\end{cases}
$$

である