2022年 東京都立大学 前期 人文社会 大問3

$${f(x)=-x^2-2x+4|x|}$$とする. 以下の問いに答えなさい.
(1) 関数$${f(x)}$$の最大値とそのときの$${x}$$の値を求めなさい.
(2) 座標平面上の点$${(0,9)}$$から曲線$${y=f(x)}$$に引いた接線の方程式をすべて求めなさい.
(3) 曲線$${y=f(x)}$$と(2)で求めたすべての接線で囲まれた図形の面積を求めなさい.

解答
(1)
$${x\ge{0}}$$のとき,
$${f(x)=-x^2-2x+4x=-x^2+2x=-(x-1)^2+1}$$
$${x\lt{0}}$$のとき,
$${f(x)=-x^2-2x-4x=-x^2-6x=-(x+3)^2+9}$$
よって, $${x=-3}$$のとき最大値$${9}$$である.

(2)
$${x\ge{0}}$$のときの接点について
このとき$${f(x)=-x^2+2x}$$より, $${f^{\prime}(x)=-2x+2}$$だから,
接点の$${x}$$座標を$${s(s\ge{0})}$$とすると, 接線の方程式は
$${y=(-2s+2)(x-s)=-s^2+2s=(-2s+2)x+s^2}$$
と表せる.
これが点$${(0,9)}$$を通るから, $${x=0,y=9}$$を代入して
$${9=s^2}$$
$${s\ge{0}}$$より$${s=3}$$
よって, この接線の方程式は$${y=-4x+9}$$となる.
$${x\lt{0}}$$のときの接点について
この範囲における最大値が$${y=9}$$なので, 点$${(0,9)}$$を通る接線は$${y=9}$$となる.
以上より, 求める接線の方程式は
$${y=9, y=-4x+9}$$の2つである.

(3)
(2)より, 求める面積を$${S}$$とすると,
$${S=\int_{-3}^{0}\{9-(-x^2-6x)\}dx+\int_{0}^{3}\{-4x+9-(-x^2+2x)\}dx}$$
$${=\int_{-3}^{0}(x^2+6x+9)dx+\int_{0}^{3}(x^2-6x+9)dx}$$
$${=\int_{-3}^{0}(x+3)^2dx+\int_{0}^{3}(x-3)^2dx}$$
$${=\Big[\frac{(x+3)^3}{3}\Big]_{-3}^{0}+\Big[\frac{(x-3)^3}{3}\Big]_{0}^{3}}$$
$${=9+9}$$
$${=18}$$