2022年 香川大学 前期 法 大問2

数列$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$を,
　$${a_1=4,a_{n+1}=\dfrac{-3a_n+2}{a_n-2} (n=1,2,3,\dots)}$$
により定める. このとき, 次の問いに答えよ.
(1) $${b_n=\dfrac{-3}{a_n-1}}$$とおくとき, $${b_{n+1}}$$を$${b_n}$$で表せ.
(2) $${b_n}$$を$${n}$$を用いて表せ.
(3) $${b_n\gt{\dfrac{2021}{2022}}}$$を満たす最小の自然数$${n}$$を求めよ.

解答
(1)
$${b_n}$$の定義より,$${b_{n+1}=\frac{-3}{a_{n+1}-1}}$$
$${a_{n+1}}$$の定義より,
$${\frac{-3}{a_{n+1}-1}=\frac{-3}{\frac{-3a_n+2}{a_n-2}-1}=\frac{-3(a_n-2)}{-3a_n+2-(a_n-2)}=\frac{-3(a_n-2)}{-4(an-1)}}$$
$${\frac{-3}{a_n-1}=b_n}$$だから,
$${\frac{-3(a_n-2)}{-4(a_n-1)}=b_n\frac{a_n-2}{-4}}$$
ここで, $${b_n=\frac{-3}{a_n-1}}$$について, $${b_n\not=0}$$だから逆数を取って
$${\frac{1}{b_n}=-\frac{a_n-1}{3}}$$より$${a_n=-\frac{3}{b_n}+1}$$だから,
$${b_n\frac{a_n-2}{-4}=b_n\frac{-\frac{3}{b_n}-1}{-4}=b_n\frac{-3-b_n}{-4b_n}=\frac{3+b_n}{4}}$$
以上より, $${b_{n+1}=\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{3}{4}}$$である.

(2)
(1)より, $${b_{n+1}=\frac{1}{4}b_n+\frac{3}{4}}$$だから, これを変形して
$${b_{n+1}-1=\frac{1}{4}(b_n-1)}$$とできる.
また, $${b_1=\frac{-3}{4-1}=-1}$$より, $${b_1-1=-2}$$なので
$${b_n-1=-2(\frac{1}{4})^{n-1}}$$
よって, $${b_n=-2(\dfrac{1}{4})^{n-1}+1}$$である.

(3)
(2)より, $${-2(\frac{1}{4})^{n-1}+1\gt{\frac{2021}{2022}}}$$について考えればよい.
$${-2(\frac{1}{4})^{n-1}+1\gt{\frac{2021}{2022}}}$$
$${\Leftrightarrow -2(\frac{1}{4})^{n-1}\gt{-\frac{1}{2022}}}$$
$${\Leftrightarrow (\frac{1}{4})^{n-1}\lt{\frac{1}{4044}}}$$
ここで$${\frac{1}{4}\lt{1}}$$より$${(\frac{1}{4})^{n-1}}$$は$${n}$$について単調に減少し,
$${(\frac{1}{4})^5=\frac{1}{1024},(\frac{1}{4})^6=\frac{1}{4096}}$$であるから,
条件を満たす最小の$${n}$$は$${n-1=6}$$, すなわち$${n=7}$$である.