2022年 山口大学 前期 共同獣医学 大問9

次の問いに答えなさい.
(1) 等式$${a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)}$$を証明しなさい.
(2) $${a^3+b^3+c^3-3abc}$$を因数分解しなさい.
(3) $${a\gt{0}, b\gt{0}, c\gt{0}}$$のとき, 不等式$${a^3+b^3+c^3\ge{3abc}}$$を証明しなさい. さらに, 等号が成り立つのは$${a=b=c}$$のときであることを証明しなさい.

解答
(1)
右辺を展開すると
$${a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2=a^3+b^3}$$となる.
これは左辺に等しいから, 題意は示された.

(2)
(1)より, $${a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)}$$だから
$${a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc}$$
また, 同様に$${(a+b)^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)}$$だから
$${(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)}$$
共通因数で括って
$${(a+b+c)^3-3(a+b+c)\lbrace{(a+b)c+ab}\rbrace}$$
$${=(a+b+c)\lbrace{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}\rbrace}$$
$${=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$$
以上より, $${a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$$

(3)
(2)より, $${a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$$であり,
$${a,b,c}$$が正のとき$${a+b+c}$$も正であるから,
$${a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}$$の正負について考えればよい.
ここで, $${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,(b-c)^2=b^2-2bc+c^2,(c-a)^2=c^2-2ca+a^2}$$
であることを用いると
$${(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca}$$である.
よって,
$${a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\lbrace{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\rbrace}$$
がいえる.
$${(a-b)^2\ge{0},(b-c)^2\ge{0},(c-a)^2\ge{0}}$$だから
$${a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge{0}}$$
したがって, $${a^3+b^3+c^3-3abc\ge{0}}$$より$${a^3+b^3+c^3\ge{3abc}}$$が示された.
また, 等号成立は$${(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0}$$のときであるが,
これを満たすのは$${a=b}$$かつ$${b=c}$$かつ$${c=a}$$のときであるから
$${a=b=c}$$のときである.