2022年 東京都立大学 前期 人文社会 大問1

$${a}$$を$${0\lt{a}\lt{1}}$$を満たす実数とする. 以下の問いに答えなさい.
(1) $${\dfrac{1}{6}\log_a(2a)+\log_a{\sqrt[3]{7}}-\dfrac{1}{2}\log_a{\sqrt[3]{98}}}$$の値を求めなさい.
(2) 不等式$${a^{2x+1}+a\le{a^{x-1}+a^{x+3}}}$$を満たす整数$${x}$$をすべて求めなさい.
(3) 不等式$${3\log_{a^3}(2x+4)\le{2\log_a(4-x)-\log_a{4}}}$$を満たす整数$${x}$$をすべて求めなさい.

解答
(1)
与式$${=\frac{1}{6}(\log_a{2}+1)+\frac{1}{3}\log_a{7}-\frac{1}{6}\log_a(7^2\times{2})}$$
$${=\frac{1}{6}\log_a{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\log_a{7}-\frac{1}{3}\log_a{7}-\frac{1}{6}\log_a{2}}$$
$${=\dfrac{1}{6}}$$

(2)
与式$${\Leftrightarrow a^{2x+1}+a-\a^{x-1}-a^{x+3}\le{0}}$$
$${\Leftrightarrow a(a^{2x}+1-a^{x-2}-a^{x+2}\le{0}}$$
$${0\lt{a}}$$より,
$${a^{2x}-a^{x-2}-a^{x+2}+1\le{0}}$$
$${\Leftrightarrow (a^x)^2-a^x•a^{-2}-a^x•a^2+1\le{0}}$$
$${\Leftrightarrow (a^x-a^{-2})(a^x-a^2)\le{0}}$$
ここで$${0\lt{a}\lt{1}}$$より$${a^{-2}\gt{a^2}}$$だから,
$${a^x-a^{-2}\lt{a^x-a^2}}$$
よって, $${a^x-a^{-2}\le{0}\le{a^x-a^2}}$$となるから
$${-2\le{x}\le{2}}$$
これを満たす整数は, $${x=-2,-1,0,1,2}$$である.

(3)
真数条件より,
$${2x+4\gt{0}}$$かつ$${4-x\gt{0}}$$だから, $${-2\lt{x}\lt{4}}$$
$${3\log_{a^3}(2x+4)=3\frac{\log_a(2x+4)}{\log_a{a^3}}=\log_a(2x+4)}$$だから,
与式は, $${\log_a(2x+4)\le{2\log_a(4-x)-\log_a{4}=\log_a{\frac{(4-x)^2}{4}}}}$$と表せる.
いま$${0\lt{a}\lt{1}}$$だから,
$${2x+4\ge{\frac{(4-x)^2}{4}} \Leftrightarrow 8x+16\ge{16-8x+x^2}}$$
これを整理して, $${x(x-16)\le{0}}$$より, $${0\le{x}\le{16}}$$
真数条件とあわせて, $${0\le{x}\lt{4}}$$
よって, これを満たす整数は$${x=0,1,2,3}$$である.