2022年 宮城大学 前期 大問1

次の(1)〜(5)に答えよ.
(1) $${x,y}$$は実数とする. 次の(i)と(ii)の空欄の中に入る最も適切なものを, 以下の(ア)〜(エ)から選べ. ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい.
　(i) $${x+y\ge{0}}$$は, $${x,y}$$の少なくとも一方が$${0}$$以上であるための□
　(ii) $${x+y\ge{10}}$$は, $${x,y}$$の少なくとも一方が$${10}$$以上であるための□
　(ア) 必要条件であるが十分条件でない　(イ) 十分条件であるが必要条件でない
　(ウ) 必要十分条件である (エ) 必要条件でも十分条件でもない
(2) 2点$${(0,4),(2,4)}$$を頂点にもつ正三角形の残りの頂点の座標を求めよ.
(3) $${\theta}$$が次の値のとき, $${\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}}$$の値を求めよ.
(4) 方程式$${|x+1|=2x-5}$$を解け.
(5) 次の式を簡単にせよ.
　$${\log_2{9}\times{\log_3{125}}\times{\log_5{2^{337}}}}$$

解答
(1)
$${x+y\ge{0} \Leftrightarrow x\ge{0}}$$または$${y\ge{0}}$$について,
対偶をとると$${x\lt{0}}$$かつ$${y\lt{0} \Leftrightarrow x+y\lt{0}}$$
これは正であるから, 元の命題も正である.
$${x\ge{0}}$$または$${y\ge{0} \Leftrightarrow x+y\ge{0}}$$について,
$${x=0,y=-1, x+y=-1}$$が反例となるから偽である.
よって, 十分条件であるが必要条件でないから, 空欄に入る選択肢は(イ)である.

$${x+y\ge{10} \Leftrightarrow x\ge{10}}$$または$${y\ge{10}}$$について,
$${x=5,y=5}$$が反例となるから偽である.
$${x\ge{10}}$$または$${y\ge{10} \Leftrightarrow x+y\ge{10}}$$について,
$${x=10,y=-1, x+y=-9}$$が反例となるから偽である.
よって, 必要条件でも十分条件でもないから, 空欄に入る選択肢は(エ)である.

(2)
$${(0,4),(2,4)}$$の垂直二等分線は$${x=1}$$で, 2点の中点は$${(1,4)}$$である.
残りの頂点は$${x=1}$$上の点だから, これを$${(1,x)}$$とおく.
$${(0,4),(2,4)}$$の距離は$${2}$$だから, $${(1,x),(0,4)}$$の距離も$${2}$$である.
よって, 
$${\sqrt{1+(4-x)^2}=2}$$より, $${x^2-8x+17=4}$$, すなわち$${x^2-8x+13=0}$$
これを解いて, $${x=4\pm{3}}$$
したがって, 求める頂点の座標は$${(1,4+\sqrt{3}),(1,4-\sqrt{3})}$$である.

(3)
(i)
$${\sin{\frac{7}{6}\pi}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\dfrac{1}{2}}$$
$${\cos{\frac{7}{6}\pi}=-\cos{\frac{\pi}{6}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$
$${\tan{\frac{7}{6}\pi}=\dfrac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$$
(ii)
$${\sin(-\frac{7}{3}\pi)=\sin(-\frac{\pi}{3})=-\sin{\frac{\pi}{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$
$${\cos(-\frac{7}{3}\pi)=\cos(-\frac{\pi}{3})=\cos{\frac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}}$$
$${\tan(-\frac{7}{3}\pi)=\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}}$$

(4)
$${x+1\ge{0}}$$, すなわち$${x\ge{-1}}$$のとき, 
与式は$${x+1=2x-5}$$となる.
これを解いて, $${x=6}$$
これは条件を満たす.
$${x+1\lt{0}}$$, すなわち$${x\lt{-1}}$$のとき,
与式は$${-x-1=2x-5}$$となる.
これを解いて, $${x=\frac{4}{3}}$$
これは条件を満たさないから不適
以上より, 求める解は$${x=6}$$である.

(5)
$${\log_2{9}\times{\log_3{125}}\times{\log_5{2^{337}}}}$$
$${=\log_2{3^2}\times{\log_3{5^3}}\times{\log_5{2^{337}}}}$$
$${=2\log_2{3}\times{3\log_3{5}}\times{337\log_5{2}}}$$
$${=2022\times{\log_2{3}}\times{\frac{\log_2{5}}{\log_2{3}}}\times{\frac{\log_2{2}}{\log_2{5}}}}$$
$${=2022}$$