2022年 香川大学 前期 法 大問1

$${\triangle{ABC}}$$において, 辺$${AB}$$を$${1:3}$$に内分する点を$${P}$$, 辺$${BC}$$を$${1:4}$$に内分する点を$${Q}$$とし, 線分$${BQ}$$と$${CP}$$の交点を$${R}$$, 直線$${AR}$$と辺$${BC}$$の交点を$${S}$$とする.
$${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}}$$とおくとき, 次の問いに答えよ.
(1) $${\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ}}$$を$${\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}}$$を用いて表せ.
(2) $${\overrightarrow{AR}, \overrightarrow{AS}}$$を$${\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}}$$を用いて表せ.
(3) $${\triangle{ABC}}$$の面積は$${\triangle{RBS}}$$の面積の何倍かを答えよ.

解答
(1)
$${P}$$は$${AB}$$を$${1:3}$$に内分する点だから
$${\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}}$$
$${Q}$$は$${AC}$$を$${1:4}$$に内分する点だから
$${\overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{b}}$$

(2)
$${R}$$は$${PC}$$上の点なので, 実数$${s}$$を用いて
$${\overrightarrow{AR}=s\overrightarrow{AP}+(1-s)\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}s\overrightarrow{a}+(1-s)\overrightarrow{b}}$$
と表せる.
また, $${R}$$は$${BQ}$$上の点でもあるから, 実数$${t}$$を用いて
$${\overrightarrow{AR}=t\overrightarrow{AB}+(1-t)\overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{5}\overrightarrow{b}}$$
とも表せる.
いま$${\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}}$$は一次独立だから
$${\frac{1}{4}s=t,1-s=\frac{1-t}{5}}$$が成り立ち, この連立方程式を解いて
$${s=\frac{16}{19},t=\frac{4}{19}}$$を得る.
よって, $${\overrightarrow{AR}=\dfrac{4}{19}\overrightarrow{a}+\dfrac{3}{19}\overrightarrow{b}}$$である.

$${S}$$は$${AR}$$上の点なので, 実数$${k}$$を用いて
$${\overrightarrow{AS}=k\overrightarrow{AR}=\frac{4}{19}k\overrightarrow{a}+\frac{3}{19}k\overrightarrow{b}}$$
と表せる.
ここで$${S}$$は辺$${BC}$$上の点であるから
$${\frac{4}{19}k+\frac{3}{19}k=1}$$が成り立ち, ここから$${k=\frac{19}{7}}$$を得る.
したがって, $${\overrightarrow{AS}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{a}+\dfrac{3}{7}\overrightarrow{b}}$$である.

(3)
(2)より, $${S}$$は$${BC}$$を$${3:4}$$に内分する点であり, $${R}$$は$${AS}$$を$${7:12}$$に内分する点であることがわかった.
よって$${\triangle{RBS}=\frac{12}{19}\triangle{ABS}=\frac{12}{19}(\frac{3}{7}\triangle{ABC})}$$より
$${\triangle{RBS}=\frac{36}{133}\triangle{ABC}}$$である.
したがって, $${\triangle{ABC}}$$の面積は$${\triangle{RBS}}$$の$${\dfrac{133}{36}}$$倍である.