2022年 宮城教育大学 前期 初等理系 大問1

次の問いに答えよ
(1) 半径$${2}$$の円に内接する$${\triangle{ABC}}$$において、
$${AB:BC:CA=5:7:4\sqrt{2}}$$であるとき、$${BC}$$の長さを求めよ
(2) $${0 \le \theta < 2\pi}$$のとき、$${\theta}$$に関する方程式
$${2\cos{\theta}-2(\sqrt{3}-1)\cos{\frac{\theta}{2}}+2-\sqrt{3}=0}$$を解け

解答
(1)
各辺の長さを正の実数$${k}$$を用いて$${AB=5k,BC=7k,CA=4\sqrt{2}k}$$とおく
余弦定理を用いて
$${2\cos{\angle{ABC}}=\frac{25k^2+49k^2-32k^2}{35k^2}=\frac{42}{35}=\frac{6}{5}}$$
$${\therefore \cos{\angle{ABC}}=\frac{3}{5}}$$
いま$${\angle{ABC}}$$は三角形の内角の一つゆえ$${0 < \angle{ABC} < \pi}$$だから
$${\sin{\angle{ABC}}>0}$$なので
$${\sin{angle{ABC}}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}}$$
正弦定理より
$${\frac{4\sqrt{2}k}{\sin{\angle{ABC}}}=4}$$だから
$${k=\frac{4}{4\sqrt{2}} \times \frac{4}{5}= \frac{4}{5\sqrt{2}}}$$を得る
よって、$${BC=7k}$$に代入して求める長澤まさみは
$${BC= \frac{28}{5\sqrt{2}}= \dfrac{14\sqrt{2}}{5}}$$

(2)
半角の公式$${cos^2{\frac{\theta}{2}}=\frac{1+\cos{\theta}}{2}}$$より、
$${2\cos{\theta}=4\cos^2{\frac{\theta}{2}}-2}$$なので、
左辺$${=4\cos^2{\frac{\theta}{2}}-2-2(\sqrt{3}-1)\cos{\frac{\theta}{2}}+2-\sqrt{3}}$$
$${=4{\cos^2{\frac{\theta}{2}}}-2(\sqrt{3}-1)\cos{\frac{\theta}{2}}-\sqrt{3}}$$
$${=(2\cos{\frac{\theta}{2}}-\sqrt{3})(2\cos{\frac{\theta}{2}}+1)}$$
よって、与式は$${(2\cos{\frac{\theta}{2}}-\sqrt{3})(2\cos{\frac{\theta}{2}}+1)=0}$$となり
$${\cos{\frac{\theta}{2}}= \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}}$$
ここで、$${0 \le \theta < 2\pi}$$より$${0 \le \frac{\theta}{2} < \pi}$$だから
$${\frac{\theta}{2}= \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}}$$
したがって、求める解は
$${\theta=\dfrac{\pi}{3} , \dfrac{4\pi}{3}}$$である