2022年 横浜市立大学 前期 データサイエンス 大問3

数列$${\{a_n\}}$$について, 初項$${a_1}$$から第$${n}$$項$${a_n}$$までの和$${S_n}$$は$${(a_n+\alpha)^2}$$の形で表すことができます. ただし, $${\alpha\gt{0}}$$です.
また, この数列について, 初項が$${a_1=\dfrac{1}{4}}$$であり, すべての$${n}$$に対して$${|a_n|\lt{\dfrac{1}{2}}}$$とします.
このとき, 以下の問いに答えなさい.
(1) $${\alpha}$$を求めなさい.
(2) $${a_n\gt{0}}$$のとき, $${a_{n+1}}$$を$${a_n}$$を用いて表しなさい.
(3) $${S_n}$$を求めなさい.

解答
(1)
$${a_1=S_1}$$だから, $${S_n}$$の定義式より
$${\frac{1}{4}=(\frac{1}{4}+\alpha)^2}$$
$${\Leftrightarrow (\frac{1}{4}+\alpha{+}\frac{1}{2})(\frac{1}{4}+\alpha-\frac{1}{2})=0}$$
$${\Leftrightarrow (\alpha+\frac{3}{4})(\alpha-\frac{1}{4})=0}$$
$${\alpha\gt{0}}$$より, $${\alpha=\dfrac{1}{4}}$$である.

(2)
$${S_n}$$の定義より, $${S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=(a_n+\frac{1}{4})^2+a_{n+1}}$$
また(1)より, $${S_{n+1}=(a_{n+1}+\frac{1}{4})^2}$$
よって, $${(a_n+\frac{1}{4})^2+a_{n+1}=(a_{n+1}+\frac{1}{4})^2}$$
$${\Leftrightarrow {a_{n+1}}^2-\frac{1}{2}a_{n+1}-({a_n}^2+\frac{1}{2}a_n)=0}$$
$${\Leftrightarrow (a_{n+1}-\frac{1}{4})^2-(a_n+\frac{1}{4})^2=0}$$
$${\Leftrightarrow (a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-\frac{1}{2})=0}$$
$${\therefore a_{n+1}=-a_n, a_n+\frac{1}{2}}$$
ここで, すべての$${n}$$にたいして$${|a_n|\lt{\frac{1}{2}}}$$だから,
$${a_n\gt{0}}$$と合わせて, $${0\lt{a_n}\lt{\frac{1}{2}}}$$で考えればよい.
$${a_{n+1}=-a_n}$$について, $${-\frac{1}{2}\lt{a_{n+1}}\lt{0}}$$で$${|a_{n+1}|\lt{\frac{1}{2}}}$$を満たす.
$${a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}}$$について, $${\frac{1}{2}\lt{a_{n+1}}\lt{1}}$$で$${|a_{n+1}|\lt{\frac{1}{2}}}$$を満たさない.
したがって, $${a_{n+1}\gt{0}}$$のとき, $${a_{n+1}=-a_n}$$である.

(3)
(2)より, $${a_n\gt{0}}$$のとき, $${a_{n+1}=-a_n}$$であることが示された.
よって, $${a_1=\frac{1}{4}}$$より, $${a_2=-\frac{1}[4}}$$である.
ここで, $${a_n\lt{0}}$$のときについて考えると,
(2)で得た$${a_{n+1}=-a_n, a_n+\frac{1}{2}}$$を用いると,
$${a_{n+1}=-a_n, a_n+\frac{1}{2}}$$いずれにせよ $${a_3=\frac{1}{4}}$$
ゆえに, 数列$${\{a_n\}}$$は,
$${\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\dots}$$
となる数列であることが導かれる.
したがって, この数列の第$${n}$$項までの和$${S_n}$$は
$${n}$$が奇数のとき, $${S_n=\dfrac{1}{4}}$$
$${n}$$が偶数のとき, $${S_n=0}$$となる.