2022年 大阪公立大学 前期 経済 大問1

点$${O}$$を原点とする座標平面状において, 点$${A,B}$$が
　$${|\overrightarrow{OA}|=3, |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2},\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}=2}$$
を満たすとする. また, 点$${A}$$を通り直線$${OB}$$と平行な直線上の点$${C}$$が
　$${|\overrightarrow{OC}|=5, \overrightarrow{OB}・\overrightarrow{OC}\lt{0}}$$
を満たすとする. 直線$${OA}$$と直線$${BC}$$の交点を$${D}$$とする. 次の問いに答えよ.
(1) $${\overrightarrow{OC}}$$を$${\overrightarrow{OA}}$$と$${\overrightarrow{OB}}$$を用いて表せ.
(2) $${\cos{\angle{AOC}}}$$を求めよ.
(3) $${\triangle{OAC}}$$の面積を求めよ.
(4) $${\triangle{OBD}}$$の面積を求めよ.

解答
(1)
$${AC}$$と$${OB}$$は平行なので, 実数$${k}$$を用いて
$${\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{OB}}$$と表せる.
ここで, $${\overrightarrow{OB}・\overrightarrow{OC}\lt{0}}$$より,
$${\overrightarrow{OB}・(\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB})\lt{0}}$$
これは各条件より, $${2+2k\lt{0}}$$, すなわち$${k\lt{-1}}$$
また, $${|\overrightarrow{OC}|=5}$$より,
$${|\overrightarrow{OA}|^2+2k\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}+k^2|\overrightarrow{OB}|^2=25}$$
これは各条件より, $${9+4k+2k^2=25}$$, すなわち$${(k+4)(k-2)=0}$$だから$${k=2,-4}$$
先の$${k}$$の条件と合わせて, $${k=-4}$$となる.
したがって, $${\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}-4\overrightarrow{OB}}$$である.

(2)
(1)より, $${|\overrightarrow{AC}|=|-4\overrightarrow{OB}|}$$だから,
$${|\overrightarrow{AC}|=4\sqrt{2}}$$
よって, $${\triangle{OAC}}$$にたいして余弦定理を用いて
$${32=9+25-30\cos{\angle{AOC}}}$$より
$${\cos{\angle{AOC}}=\frac{9+25-32}{30}=\dfrac{1}{15}}$$

(3)
$${\angle{AOC}}$$は三角形の内角の1つだから, $${0\lt{\sin{\angle{AOC}}}\lt{1}}$$
よって. $${\sin{\angle{AOC}}=\sqrt{1-(\frac{1}{15})^2}=\frac{4\sqrt{14}}{15}}$$
したがって求める面積は
$${\frac{1}{2}・5・3・\frac{4\sqrt{14}}{15}=2\sqrt{14}}$$

(4)
$${D}$$は$${OA}$$上の点だから, 実数$${s}$$を用いて
$${\overrightarrow{OD}=s\overrightarrow{OA}}$$
と表せる.
同様に$${D}$$は$${BC}$$上の点だから, 実数$${t}$$を用いて
$${\overrightarrow{OD}=t\overrightarrow{OB}+(1-t)\overrightarrow{OC}}$$
$${=t\overrightarrow{OB}+(1-t)(\overrightarrow{OA}-4\overrightarrow{OB})}$$
$${=(1-t)\overrightarrow{OA}+\{t-4(1-t)\}\overrightarrow{OB}}$$
$${\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}$$は一次独立だから
$${s=1-t, t-4(1-t)=0}$$が成り立つ.
この連立方程式より, $${t=\frac{4}{5}, s=\frac{1}{5}}$$を得る.
ここで, $${OB}$$と$${AC}$$が平行であることから, $${\triangle{ODB}}$$と$${\triangle{ADC}}$$は相似であり, 相似比は(1)より, $${\triangle{ODB}:\triangle{ADC}=1:4}$$だから, 面積比は
$${\triangle{ODB}:\triangle{ADC}=1:16}$$である.
これらから. 各三角形の面積は
$${\triangle{ODB}=\frac{1}{16}\triangle{ADC}}$$
$${=\frac{1}{16}・\frac{4}{5}\triangle{OAC}}$$
$${=\frac{1}{16}・\frac{4}{5}・2\sqrt{14}}$$
となるから, 求める面積は$${\dfrac{\sqrt{14}}{10}}$$である.