2022年 鹿児島大学 前期 理(化/生)他 大問4

各項が正となる数列$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$が
　$${a_1=1,a_2=2,a_{n+1}a_{n-1}={a_n}^2+1 \space(n\ge{2})}$$
を満たすとする.
(1) $${a_3,a_4,a_5}$$を求めよ.
(2) $${c}$$を実数とする. $${3}$$以上のすべての自然数$${n}$$に対して
　$${(a_{n+1}+ca_n+a_{n-1})a_{n-1}=a_n(a_n+ca_{n-1}+a_{n-2})}$$
が成り立つことを証明せよ.
(3) $${3}$$以上のすべての自然数$${n}$$に対して
　$${a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}=0}$$
が成り立つことを証明せよ.

解答
(1)
$${a_3=2^2+1=5}$$
$${2a_4=25+1=26}$$
$${\therefore a_4=13}$$
$${5a_5=169+1=170}$$
$${\therefore a_5=34}$$

(2)
数学的帰納法を用いて証明する.
(i) $${n=3}$$のとき
左辺$${=(13+5c+2)2=10c+30}$$
右辺$${=5(5+2c+1)=10c+30}$$より成り立つ
(ii) $${n=k(k\ge{3})}$$のとき$${(a_{k+1}+ca_k+a_{k-1})a_{k-1}=a_k(a_k+ca_{k-1}+a_{k-2})}$$が成り立つと仮定する
$${n=k+1}$$のとき
$${(a_{k+2}+ca_{k+1}+a_{k})a_{k}-\lbrace{a_{k+1}(a_{k+1}+ca_{k}+a_{k-1})}\rbrace}$$
$${=a_ka_{k+2}+ca_ka_{k+1}+{a_k}^2-{a_{k+1}}^2-ca_ka_{k+1}-a_{k+1}a_{k-1}}$$(*)
ここで, $${\lbrace{a_n}\rbrace}$$の漸化式から
$${a_ka_{k+2}={a_{k+1}}^2+1,a_{k+1}a_{k-1}={a_k}^2+1}$$だから
(*)$${={a_{k+1}}^2+1+{a_k}^2-{a_{k+1}}^2-({a_k}^2+1)}$$
$${=0}$$
$${\therefore (a_{k+2}+ca_{k+1}+a_{k})a_{k}={a_{k+1}(a_{k+1}+ca_{k}+a_{k-1})}}$$
(i)(ii)より, 3以上のすべての自然数$${n}$$に対して
$${(a_{n+1}+ca_n+a_{n-1})a_{n-1}=a_n(a_n+ca_{n-1}+a_{n-2})}$$が成り立つ.

(3)
数学的帰納法を用いて証明する
(i) $${n=3}$$のとき
$${5-6+1=0}$$より成り立つ
(ii) $${n=k(k\ge{3}}$$のとき$${a_k-3a_{k-1}+a_{k-2}=0}$$が成り立つと仮定する
$${n=k+1}$$のとき
$${a_{k+1}-3a_k+a_{k-1}}$$について,
(2)で示した式において$${c=-3}$$とすると
$${(a_{k+1}-3a_k+a_{k-1})a_{k-1}=a_k(a_k-3a_{k-1}+a_{k-2})}$$が成り立つ.
ここで, 仮定より$${a_k-3a_{k-1}+a_{k-2}=0}$$であり, $${a_k,a_{k-1}}$$はともに正であるから$${a_{k+1}-3a_k+a_{k-1}=0}$$である.
(i)(ii)より, 3以上のすべての自然数$${n}$$に対して
$${a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}=0}$$が成り立つ.