2022年 小樽商科大学 前期 商 共通 大問2

空間に4点$${O,A,B,C}$$があり、
$${|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1,}$$
$${\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}=\frac{3}{5}, \overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}, \overrightarrow{OB}・\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}}$$
を満たしているとする。三角形$${ABC}$$の外接円の面積を求めよ

解答
$${\overrightarrow{OA}・\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}| \cos{\angle AOB}}$$だから、条件より
$${\cos \angle AOB= \frac{3}{5}}$$
$${\triangle OAB}$$に対して余弦定理を用いることで、
$${AB^2=1^2+1^2-2•1•1•\frac{3}{5}}$$より、$${AB= \frac{2}{\sqrt{5}}(AB>0)}$$を得る
同様にして、$${BC=CA= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$を得る

これにより、$${\triangle ABC}$$の三辺の長さがわかったから、余弦定理を用いて
$${\frac{4}{5}=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2+(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2-2•(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})•(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})• \cos \angle ACB}$$より
$${\therefore \cos \angle ACB=-\frac{2}{5}}$$
ここで$${\sin}$$と$${\cos}$$の関係から$${\sin^{2}\angle ACB=1-(-\frac{2}{5})^2= \frac{21}{25}}$$がいえる
$${\angle ACB}$$は三角形の一つの内角ゆえ、$${0° \le \angle ACB \le 180°}$$だから$${\sin \angle ACB >0}$$であることを用いて$${\sin \angle ACB= \frac{\sqrt{21}}{5}}$$を得る

$${\triangle ACB}$$の外接円の半径を$${R}$$とすると、正弦定理から
$${\dfrac{AB}{\sin \angle ACB}=2R}$$
すなわち$${R=\dfrac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{2 \frac{\sqrt{21}}{5}}= \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}}$$が従う
よって、求める面積は$${\pi R^2}$$だから$${\dfrac{5}{21} \pi}$$である