2022年 琉球大学 前期 農 大問6

座標平面上の2つの放物線
　$${C_1: y=-x^2+2x, C_2: 2x^2-4x+9}$$
について, 次の問いに答えよ.
(1) 放物線$${C_1}$$と放物線$${C_2}$$の両方に接する直線は2つ存在する. 放物線$${C_1}$$と放物線$${C_2}$$の両方に接する直線の方程式を2つとも求めよ.
(2) (1)で求めた2つの直線および放物線$${C_1}$$で囲まれた部分の面積を求めよ.

解答
(1)
$${C_1}$$について, $${y^{\prime}=-2x+2}$$だから,
$${C_1}$$上の点$${(p,-p^2+2p)}$$を通る接線を$${l_1}$$とすると,
$${l_1}$$の式は$${y=(-2p+2)(x-p)-p^2+2p}$$より
$${l_1: y=(-2p+2)x+p^2}$$と表せる.
同様に$${C_2}$$について, $${y^{\prime}=4x-4}$$だから,
$${C_2}$$上の点$${(q,2q^2-4q+9)}$$を通る接線を$${l_2}$$とすると,
$${l_2}$$の式は$${y=(4q-4)(x-q)+2q^2-4q+9}$$より
$${l_2: y=(4q-4)x-2q^2+9}$$と表せる.
$${l_1}$$と$${l_2}$$が一致するのは, 2式より
$${-2p+4q+6=0}$$かつ$${p^2+2q^2-9=0}$$が成り立つときである.
$${-2p+4q+6=0}$$より, $${p=2q+3}$$
これを$${p^2+2q^2-9=0}$$に代入して
$${4q^2+12q+9+2q^2-9=0}$$
これを整理して, $${6q(q+2)=0}$$より, $${q=0,-2}$$
$${q=0}$$のとき$${p=3}$$であり, 接線の式は$${y=-4x+9}$$
$${q=-2}$$のとき$${p=-1}$$であり, 接線の式は$${y=4x+1}$$
以上より, 求める直線の方程式は$${y=4x+1, y=-4x+9}$$の2つである.

(2)
$${y=4x+1}$$と$${y=-4x+9}$$の共有点の$${x}$$座標は,
$${4x+1=-4x+9}$$より$${x=1}$$である.
$${y=4x+1}$$と$${C_1}$$の共有点の$${x}$$座標は,
$${4x+1=-x^2+2x \Leftrightarrow x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow (x+1)^2=0}$$より$${x=-1}$$である.
$${y=-4x+9}$$と$${C_1}$$の共有点の$${x}$$座標は,
$${-4x-9=-x^2+2x \Leftrightarrow x^2+-6x+9=0 \Leftrightarrow (x-3)^2=0}$$より$${x=3}$$である.
よって, 求める面積は,
$${\int_{-1}^{1}\lbrace{4x+1-(-x^2+2x)}\rbrace{dx}+\int_{1}^{3}\lbrace{-4x+9-(-x^2+2x)}\rbrace{dx}}$$
$${=\int_{-1}^{1}(x^2+2x+1)dx+\int_{1}^{3}(x^2-6x+9)dx}$$
$${=\int_{-1}^{1}(x+1)^2dx+\int_{1}^{3}(x-3)^2dx}$$
$${=\Big[{\frac{(x+1)^3}{3}}\Big]_{-1}^{1}+\Big[{\frac{(x-3)^3}{3}}\Big]_{1}^{3}}$$
$${=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}}$$
$${=\dfrac{16}{3}}$$である.