2022年 岡山大学 前期 経済 大問3

数列$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$を
　$${a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{1}{2+a_n} (n=1,2,3,\dots)}$$
で,数列$${\lbrace{b_n}\rbrace, \lbrace{c_n}\rbrace}$$を
　$${b_1=c_1=1,b_{n+1}=c_n,c_{n+1}=b_n+2c_n (n=1,2,3,\dots)}$$
で定める. 以下の問いに答えよ.
(1) 全ての自然数$${n}$$について$${a_n=\dfrac{b_n}{c_n}}$$が成り立つことを示せ.
(2) 数列$${\lbrace{\alpha{b_n}-c_n}\rbrace}$$が等比数列となるような実数$${\alpha}$$を全て求めよ.
(3) 数列$${\lbrace{a_n}\rbrace, \lbrace{b_n}\rbrace, \lbrace{c_n}\rbrace}$$の一般項をそれぞれ求めよ.

解答
(1)
数学的帰納法により証明する.
・$${n=1}$$のとき
　$${a_1=1, \frac{b_1}{c_1}=\frac{1}{1}=1}$$より成り立つ
・$${n=k}$$のとき$${a_k=\frac{b_k}{c_k}}$$が成り立つと仮定する.
　$${n=k+1}$$のとき
　$${a_{k+1}=\frac{1}{2+a_k}}$$
　仮定より$${\frac{1}{2+a_k}=\frac{1}{2+\frac{b_k}{c_k}}=\frac{c_k}{2c_k+b_k}}$$
　$${b_{n+1},c_{n+1}}$$の定義より$${c_k=b_{k+1},2c_k+b_k=c_{k+1}}$$だから
　$${a_{k+1}=\frac{b_{n+1}}{c_{n+1}}}$$が成り立つ.
以上より, 全ての自然数$${n}$$に対して$${a_n=\frac{b_n}{c_n}}$$が成り立つ.

(2)
数列$${\lbrace{\alpha{b_n}-c_n}\rbrace}$$が等比数列をなすときの公比を$${r}$$とおく(ただし$${r}$$は実数)とおく.
ここで, $${r=0}$$のとき, $${\alpha{b_2}-c_2=\alpha{b_3}-c_3=0}$$となるが,
$${b_2=c_1=1,c_2=b_1+2c_1=3, b_3=c_2=3, c_3=b_2+2c_2=7}$$だから
$${\alpha-3=3\alpha-7=0}$$となり, これを満たす実数$${\alpha}$$は存在しない.
よって, 以下$${r\not=0}$$で考える.

公比$${r}$$の等比数列だから,
$${\alpha{b_{n+1}}-c_{n+1}=\alpha{b_n}-c_n}$$が成り立つ.
ここで$${b_{n+1}=c_n, c_{n+1}=b_n+2c_n}$$だから
$${\alpha{c_n}-(b_n+2c_n)=\alpha{b_n}-c_n}$$
これを整理して$${(r\alpha+1)b_n=(\alpha-2+r)c_n}$$となる.
(1)より$${\frac{b_n}{c_n}=a_n}$$だから$${c_n\not=0}$$で両辺を割ると
$${(r\alpha+1)a_n=\alpha-2+r}$$となる.
いま$${a_n}$$は$${n}$$によるから, これが恒等式となるのは
$${r\alpha+1=0}$$かつ$${\alpha-2+r=0}$$のときに限られる.
この$${r, \alpha}$$に関する連立方程式を解いて
$${(r, \alpha)=(1\pm{\sqrt{2}}, 1\mp{\sqrt{2}})}$$(複合同順)を得る.
以上より, 求める実数$${\alpha}$$は$${\alpha=1\pm{\sqrt{2}}}$$である.

(3)
(2)より数列$${\lbrace{\alpha{b_n}-c_n}\rbrace}$$は,
$${\alpha=1+\sqrt{2}}$$のとき公比$${1-\sqrt{2}}$$の等比数列をなし,
$${\alpha=1-\sqrt{2}}$$のとき公比$${1+\sqrt{2}}$$の等比数列をなすことがわかった.

$${\alpha=1+\sqrt{2}}$$のとき
$${(1+\sqrt{2})b_1-c_1=\sqrt{2}}$$だから
$${(1+\sqrt{2})b_n-c_n=\sqrt{2}(1-\sqrt{2})^{n-1}}$$・・・①
$${\alpha=1-\sqrt{2}}$$のとき
$${(1-\sqrt{2})b_1-c_1=-\sqrt{2}}$$だから
$${(1-\sqrt{2})b_n-c_n=-\sqrt{2}(1+\sqrt{2})^{n-1}}$$・・・②
①②より
$${(1+\sqrt{2})b_n-(1-\sqrt{2})b_n=\sqrt{2}(1-\sqrt{2})^{n-1}+\sqrt{2}(1+\sqrt{2})^{n-1}}$$
$${\therefore 2\sqrt{2}b_n=\sqrt{2}\lbrace{(1-\sqrt{2})^{n-1}+(1+\sqrt{2})^{n-1}}\rbrace}$$
$${\therefore b_n=\dfrac{(1-\sqrt{2})^{n-1}+(1+\sqrt{2})^{n-1}}{2}}$$
$${c_n=b_{n+1}}$$だから
$${c_n=\dfrac{(1-\sqrt{2})^n+(1+\sqrt{2})^n}{2}}$$
$${a_n=\frac{b_n}{c_n}}$$だから
$${a_n=\dfrac{(1-\sqrt{2})^{n-1}+(1+\sqrt{2})^{n-1}}{(1-\sqrt{2})^n+(1+\sqrt{2})^n}}$$