2022年 東京都立大学 前期 人文社会 大問2

ディスプレイに1秒ごとにAかBのどちらか1つの文字を表示するプログラムがあり, 1秒ごとに次の動作を行うように設定されている.
　・Aが表示されているとき, 確率$${\dfrac{1}{2}}$$でBに表示を切り替える.
　・Aが表示されているとき, 確率$${\dfrac{1}{2}}$$でAをそのまま表示する.
　・Bが表示されているとき, 確率$${\dfrac{1}{4}}$$でAに表示を切り替える.
　・Bが表示されているとき, 確率$${\dfrac{3}{4}}$$でBをそのまま表示する.
Aが表示されてから$${n}$$秒後にAが表示される確率を$${a_n}$$とし, Aが表示されてから$${n}$$秒後にBが表示される確率を$${b_n}$$とする. 以下の問いに答えなさい.
(1) $${b_3}$$を求めなさい
(2) $${c_n=a_n+b_n, d_n=2a_n-b_n}$$とするとき, $${c_{n+1},d_{n+1}}$$を$${c_n,d_n}$$を用いて表しなさい.
(3) $${a_n}$$を$${n}$$の式で表しなさい.

解答
(1)
すべての自然数$${n}$$について,
$${a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{4}b_n, b_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{4}b_n}$$が言え,
$${a_1=b_1=\frac{1}{2}}$$だから,
$${a_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}}$$
$${b_2=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}}$$
$${\therefore b_3=\frac{3}{16}+\frac{15}{32}=\dfrac{21}{32}}$$

(2)
$${n}$$秒後の状態はAまたはBのいずれかが表示されているから, すべての自然数について
$${a_n+b_n=1}$$が成り立つ.
よって, $${c_n=a_n+b_n}$$は定数だから, $${c_{n+1}=c_n}$$

$${d_n}$$の定義式と(1)より,
$${d_{n+1}=2a_{n+1}-b_{n+1}}$$
$${=2(\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{4}b_n)-(\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{4}b_n)}$$
$${=\frac{1}{2}a_n-\frac{1}{4}b_n}$$
$${=\frac{1}{4}(2a_n-b_n)}$$
$${=\dfrac{1}{4}d_n}$$

(3)
$${d_n}$$の定義式より$${d_1=2a_1-b_n=\frac{1}{2}}$$だから,
$${d_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{4})^{n-1}=2(\frac{1}{4})^n}$$となる.
よって, $${c_n=a_n+b_n=1, d_n=2a_n-b_n=2(\frac{1}{4})^n}$$となるから, 辺々足して
$${3a_n=1+2(\frac{1}{4})^n}$$
$${\therefore a_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\big(\dfrac{1}{4}\big)^n}$$