2022年 東京都立大学 前期 人文社会 大問4

$${C}$$を座標平面上の円$${x^2+y^2=1}$$とする. 以下の問いに答えなさい.
(1) 点$${(a,b)}$$を中心とし, $${C}$$に外接する円の半径を$${a,b}$$の式で表しなさい.
(2) $${C}$$に外接し, 直線$${y=3}$$に接する円の中心の軌跡の方程式を求めなさい.
(3) (2)で求めた軌跡の方程式を$${y=f(x)}$$とする. 点$${(x,y)}$$が不等式$${y\le{f(x)}}$$の表す座標平面上の領域を動くとき, $${x+2y}$$の最大値とそのときの$${x,y}$$の値を求めなさい.

解答
(1)
求める円の半径を$${r}$$とする. $${r}$$は正の実数である.
求める円は$${C}$$と外接するから, $${(a,b)}$$と原点との距離は, $${2}$$つの円の半径の和に等しい.
よって, $${\sqrt{a^2+b^2}=1+r}$$より,
求める円の半径は, $${\sqrt{a^2+b^2}-1}$$と表される.

(2)
求める円の中心を$${(s,t)}$$, 半径を$${r}$$とする.
$${s,t}$$は実数, $${r}$$は正の実数である.
この円が$${C}$$と外接するから, (1)と同様に考えて,
$${r=\sqrt{s^2+t^2}-1}$$・・・①
円$${C}$$上の点で, $${y}$$座標が最も大きくなるのは点$${(0,1)}$$のときであるから,
$${t\ge{3}}$$, すなわち求める円の中心が$${y=3}$$以上のとき,
円$${C}$$と外接するとき$${y=3}$$と接することはできない.
よって, $${t\lt{3}}$$で考えてよいから, 点$${(s,t)}$$と直線$${y=3}$$の距離は$${3-t}$$で表せ, これが$${r}$$と等しい,
すなわち, $${r=3-t}$$
これと①をあわせて,
$${\sqrt{s^2+t^2}-1=3-t}$$より, $${s^2+t^2=16-8t+t^2}$$だから
$${t=-\frac{1}{8}s^2+2}$$
これを$${x,y}$$に戻して, 求める方程式は
$${y=-\dfrac{1}{8}x^2+2}$$である.

(3)
$${x+2y=k}$$とおく. $${k}$$は実数である.
この直線は, $${y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}k}$$とかける.
いま$${k}$$が最大となるのは, この直線が(2)で求めた$${y=f(x)=-\frac{1}{8}x^2+2}$$と接するときである.
$${f^{\prime}(x)=-\frac{1}{4}x}$$だから, 傾きが$${-\frac{1}{2}}$$となるのは$${x=2}$$のときで, このとき接点の$${y}$$座標は$${f(2)=\frac{3}{2}}$$である.
このとき, $${k}$$の値は, $${k=2+\frac{6}{2}=5}$$である.
以上より, 求める最大値は$${5}$$で, そのときの$${x,y}$$は$${(x,y)=\Big(2,\dfrac{3}{2}\Big)}$$である.