2022年 小樽商科大学 前期 商 共通 大問3

(1) $${n}$$は2以上の自然数とする。$${n}$$個のデータ$${x_1,x_2,\dots,x_n}$$が
$${x_k=5•2^k+4k+2022 \space (k=1,2, \dots, n)}$$で与えられているとき、
$${x_n}$$の平均値$${\bar{x}}$$を$${n}$$の式で表せ
(2}整数$${x,y}$$は$${2x-y-6 \ge 0, x-2y+2 \le 0}$$を満たしているとする。
このとき$${x+y}$$の最小値を求めよ
(3) $${AB=2,BC=1, AC=\sqrt{3}}$$である三角形$${ABC}$$において、
辺$${AB}$$上に$${AD=\sqrt{3}}$$となる点$${D}$$をとり、$${CD}$$の中点を$${E}$$とする。
直線$${AE}$$と辺$${BC}$$の交点を$${F}$$とするとき、$${CF}$$の長さを求めよ

解答
(1)
$${\bar{x}= \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k}$$
$${= \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^n (5•2^k+4k+2022)}$$
$${= \frac{1}{n} \lbrace 5•(2^{n+1}-2)+4•\frac{1}{2}•n(n+1)+2022n \rbrace}$$
$${= \dfrac{5(2^{n+1}-2)}{n}+2n+2024}$$

(2)
$${2x-y-6 \ge 0}$$が表す領域は、$${y=2x-6}$$の境界を含んだ下側
$${x-2y+2 \le 0}$$が表す領域は、$${y= \frac{1}{2}x+1}$$の境界を含んだ上側となる
ここで、$${y=2x-6}$$と$${y= \frac{1}{2}x+1}$$の交点について考えると
$${x}$$座標について、$${4x-12=x+2}$$より$${x= \frac{14}{3}}$$
$${y}$$座標について、$${y= \frac{28}{3}-6}$$より$${y= \frac{10}{3}}$$
よって、$${x \ge \frac{14}{3}, y \ge \frac{10}{3}}$$と、$${x,y}$$が整数であることから、$${x \ge 5, y \ge 4}$$である。
いま、$${(x,y)=(5,4)}$$が、2式を満たす領域に含まれていれば$${x+y}$$の最小値が9であるといえる
$${(x,y)=(5,4)}$$を$${2x-y-6 \ge 0}$$に代入すると$${10-4-6=0 \ge 0}$$で成立するから、$${(x,y)=(5,4)}$$は2式が表す領域に含まれていることがわかる
したがって、求める最小値は9である

(3)
メネラウスの定理より
$${\dfrac{CF}{FB}・\dfrac{BA}{AD}・\dfrac{DE}{EC} = 1}$$だから
$${\dfrac{CF}{FB}・\dfrac{2}{\sqrt{3}}・\dfrac{1}{1} = 1}$$
$${\therefore CF= \dfrac{\sqrt{3}}{2}FB}$$
ここで$${CF+FB=1}$$より$${FB= \dfrac{2}{2+\sqrt{3}}}$$だから
$${CF= \dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3}$$