2022年 公立はこだて未来大学 前期 大問2

関数$${f(x)=|4x^3-3x|(0\le{x}\le{1})}$$について, 以下の問いに答えよ.
(1) $${y=f(x)}$$のグラフを座標平面上にかけ.
(2) 曲線$${y=f(x)}$$の直線$${y=x}$$で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ.
(3) $${0\le{x}\le{1}}$$において, $${-x+|4x^3-3x|}$$の最大値および最小値と, そのときの$${x}$$の値をそれぞれ求めよ.

解答
(1)
$${4x^3-3x=x(2x+3)(2x-3)}$$より, $${4x^3-3x=0}$$の解は$${x=0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
最高次数の係数が正であることから, $${\frac{\sqrt{3}}{2}\le{x}\le{1}}$$の区間で$${f(x)=4x^3-3x}$$
また, 定義域とあわせて$${0\le{x}\le{\frac{\sqrt{2}}{2}}}$$の区間で$${f(x)=-4x^3+3x}$$
また, $${(-4x^3+3x)^{\prime}=-12x^2+3=-3(2x+1)(2x-1)}$$より, $${x=\frac{1}{2}}$$で極大値をとる.
以上より, グラフは以下の実践部分である.

(2)
$${y=-4x^3+3x}$$と$${y=x}$$の$${0\le{x}\le{1}}$$における共有点の$${x}$$座標は,
$${-4x^3+3x=x \Leftrightarrow 4x^3-2x=0 \Leftrightarrow x(2x+\sqrt{2})(2x-\sqrt{2})=0}$$より
$${x=0,\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$${y=4x^3-3x}$$と$${y=x}$$の$${0\le{x}\le{1}}$$における共有点の$${x}$$座標は,
$${4x^3-3x=x \Leftrightarrow 4x(x^2-1)=0 \Leftrightarrow 4x(x+1)(x-1)=0}$$より,
$${x=0,1}$$
よって, 求める面積は
$${\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(-4x^3+3x-x)dx+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(x+4x^3-3x)dx+\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}(x-4x^3+3x)dx}$$
$${=\Big[{-x^4+x^2}\Big]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\Big[{x^4-x^2}\Big]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\Big[{-x^4+2x^2}\Big]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}}$$
$${=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{9}{16}-\frac{3}{4}-(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})+(-1+2)-(-\frac{9}{16}+\frac{3}{2})}$$
$${=\dfrac{3}{8}}$$

(3)
(1)より,
$${0\le{x}\le{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$$のとき$${|4x^3-3x|=-4x^3+3x}$$
$${\frac{\sqrt{3}}{2}\le{x}\le{1}}$$の時$${|4x^3-3x|=4x^3-3x}$$だから,
$${g(x)=-4x^3+2x \space(0\le{x}\le{\frac{\sqrt{3}}{2}})}$$,
$${h(x)=4x^3-4x \space(\frac{\sqrt{3}}{2}\le{x}\le{1})}$$とおくと
$${g^{\prime}(x)=-12x^2+2=-2(6x^2-1)}$$, $${h^{\prime}(x)=12x^4-4=4(3x^2-1)}$$であるから, 増減表は以下のようになる

$$
\begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c}
x & 0 & & \frac{1}{\sqrt{6}} & & \frac{\sqrt{3}}{2} & & 1 \\
g^{\prime}(x)orh^{\prime}(x) & & + & 0 & - & & + & \\
g(x)orh(x) & 0 & \nearrow & \frac{2\sqrt{6}}{9} & \searrow & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \nearrow & 0
\end{array}
$$

よって,
$${x=\dfrac{\sqrt{6}}{6}}$$のとき, 最大値$${\dfrac{2\sqrt{6}}{9}}$$,
$${x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$のとき, 最小値$${-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$