2022年 宮城大学 前期 大問5

次の定理について, 次の各問いに答えよ.
定理
$${\triangle{ABC}}$$の頂点$${A,B,C}$$と, 三角形の内部の点$${O}$$を結ぶ直線$${AO,BO,CO}$$が, 辺$${BC,CA,AB}$$と, それぞれ点$${P,Q,R}$$で交わるとき,
　$${\dfrac{BP}{PC}・\dfrac{CQ}{QA}・\dfrac{AR}{RB}=1}$$
が成り立つ.
(1) 上の定理は何の定理と呼ばれるか.
(2) $${\triangle{OAB}}$$の面積を$${S_1}$$, $${\triangle{OCA}}$$の面積を$${S_2}$$とする. このとき, 次が成り立つことを証明せよ.
　$${\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{BP}{PC}}$$
(3) 上の定理を証明せよ.

解答
(1)
チェバの定理

(2)
$${\triangle{ABC}}$$の面積を$${S}$$とすると,
$${\triangle{ABP}=\frac{BP}{BP+PC}S}$$
$${\triangle{OAB}=\frac{AO}{AO+OP}\triangle{ABP}}$$
$${\therefore S_1=\frac{AO}{AO+OP}•\frac{BP}{BP+PC}S}$$
同様に考えると,
$${S_2=\frac{AO}{AO+OP}•\frac{PC}{BP+PC}S}$$
よって,
$${\frac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{AO•BP}{(AO+OP)(BP+PC)}S}{\frac{AO•PC}{(AO+OP)(BP+PC)}S}=\dfrac{BP}{PC}}$$である.

(3)
$${\triangle{OBC}}$$の面積を$${S_3}$$とおく.
(2)と同様に考えると
$${\frac{S_2}{S_3}=\frac{AR}{RB},\frac{S_3}{S_1}=\frac{CQ}{QA}}$$
が成り立つから,
$${\frac{BP}{PC}•\frac{CQ}{QA}•\frac{AR}{RB}=\frac{S_1}{S_2}•\frac{S_3}{S_1}•\frac{S_2}{S_3}=1}$$である.