2022年 香川大学 前期 法 大問3

関数$${f(x)=x^3-6x^2}$$に対し, 座標平面上の曲線$${y=f(x)}$$を$${C}$$とする.
このとき, 次の問いに答えよ.
(1) 曲線$${C}$$上の点$${(p,f(p))}$$における接線の方程式を求めよ.
(2) 関数$${y=f(x)}$$の極値を求めよ.
(3) 点$${(4,k)}$$から曲線$${C}$$上の異なる3点それぞれに接線が引けるとする. このときの定数$${k}$$の値の範囲を求めよ.

解答
(1)
$${f^{\prime}(x)=3x^2-12x}$$なので,
$${C}$$上の点$${(p,f(p))}$$における接線の方程式は
$${y=(3p^2-12p)(x-p)+p^3-6p^2=(3p^2-12p)x-2p^3+6p^2}$$である.

(2)
(1)より$${f^{\prime}(x)=3x(x-4)}$$なので,
$${f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0,4}$$
最高次数の係数が正であることと合わせて,
$${x=0}$$のとき極大値$${f(0)=0}$$,
$${x=4}$$のとき極小値$${f(4)=-32}$$をとる.

(3)
(1)で求めた接線が$${(4,k)}$$を通るから,
$${k=4(3p^2-12p)-2p^3+6p^2=-2p^3+18p^2-48p}$$
これが異なる3つの共有点を持つような$${k}$$を考えればよい.
$${g(p)=-2p^3+18p^2-48p}$$とおくと,
$${g^{\prime}=-6p^2+36p-48=-6(p-2)(p-4)}$$となるから,
最高次数の奇数が負であることと合わせて, $${g(p)}$$は
$${p=2}$$のとき極小値$${g(2)=-40}$$,
$${p=4}$$のとき極大値$${g(4)=-32}$$をとる.
よって, このグラフと$${y=k}$$が異なる3点で共有点を持つような$${k}$$の値の範囲は,
$${-40\lt{k}\lt{-32}}$$である.