2022年 鳥取大学 前期 農 大問9

正しく作られたさいころがある. さいころを振って6の目が出たらもう1回振ることとする.
以下の問いに答えよ.
(1) さいころをちょうど2回ふる確率を求めよ.
(2) さいころをちょうど$${k}$$回ふる確率を求めよ. ただし, $${k}$$は自然数とする.
(3) さいころをふる回数が$${n}$$以下となる確率を求めよ. ただし, $${n}$$は自然数とする.

解答
(1)
さいころをちょうど2回ふることになるのは,
「1回目の出た目が6でない」かつ「2回目の出た目が6である」
場合であるから, その確率は
$${\frac{5}{6}\times{\frac{1}{6}}=\dfrac{5}{36}}$$である.

(2)
さいころをちょうど$${k}$$回ふることになるのは,
「$${k-1}$$回目まで6の目が出ない」かつ「$${k}$$回目の出た目が6である」
場合であるから, その確率は
$${(\frac{5}{6})^{k-1}\times{\frac{1}{6}}=\dfrac{5^{k-1}}{6^k}}$$である.

(3)
余事象である「さいころをふる回数が$${n}$$回を超える」場合を考える.
これは「$${n}$$回目まで全て6の目が出ない」
場合であるから, その確率は$${(\frac{5}{6})^n}$$である.
よって求める確率は$${1-(\frac{5}{6})^n=\dfrac{6^n-5^n}{6^n}}$$である.