2022年 岡山大学 前期 経済 大問2

三角形$${ABC}$$において, 各辺の長さを$${BC=a,CA=b,AB=c}$$とし,
$${a^2=5-\sqrt{2}-\sqrt{6},b^2=1,c^2=4}$$とする. 以下の問いに答えよ.
(1) $${\cos{\angle{BAC}}}$$の値を求めよ
(2) 三角形$${ABC}$$の面積$${S}$$を求めよ
(3) $${\angle{BAC}}$$の大きさを求めよ

解答
(1)
$${a,b,c}$$は各辺の長さゆえ正の実数だから$${b=1,c=2}$$である.
よって, 余弦定理より
$${\cos{\angle{BAC}}=\frac{1+4-(5-\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$$である.

(2)
$${\angle{BAC}}$$は三角形の内角の1つであるから$${0\lt{\angle{BAC}}\lt{\pi}}$$なので,
$${0\lt{\sin{\angle{BAC}}}\lt{1}}$$である.
(1)より$${\cos^2{\angle{BAC}}=\frac{8+2\sqrt{12}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}$$だから
$${\sin^2{\angle{BAC}}=1-\frac{2+\sqrt{3}}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$$より
$${\sin{\angle{BAC}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$$
ここで, $${\sqrt{2-\sqrt{3}}}$$について,
$${\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$$だから
$${\sin{\angle{BAC}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$$
よって求める面積は
$${S=\frac{1}{2}•1•2•\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$$である.

(3)
(2)より$${\cos^2{\angle{BAC}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}, \sin^2{\angle{BAC}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$$だから,
$${\cos{2\angle{BAC}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}-\frac{2-\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
ここで$${\angle{BAC}}$$が三角形の内角の1つであり, $${\cos{\angle{BAC}},\sin{\angle{BAC}}}$$がともに正であることから$${\angle{BAC}}$$が鋭角であることがわかるので
$${0\lt{\angle{BAC}}\lt{\frac{\pi}{2}}}$$より$${0\lt{2\angle{BAC}}\lt{\pi}}$$より
$${2\angle{BAC}=\frac{\pi}{3}}$$である.
よって, $${\angle{BAC}=\dfrac{\pi}{6}}$$である.