2022年 岡山大学 前期 経済 大問4

$${a}$$を実数とし, 座標平面上の曲線$${C:y=x^3+(a+2)x^2+2ax+2}$$を考える.
以下の問いに答えよ.
(1) $${a}$$がどのような値を取っても曲線$${C}$$は2つの定点を通る. その2点の座標を求めよ.
(2) (1)で求めた2点のうち, $${x}$$座標の小さい方を点$${A}$$, もう一方を点$${B}$$とし, その2点を通る直線を$${L}$$とする. 曲線$${C}$$と直線$${L}$$が異なる3点で交わり, その交点が全て線分$${AB}$$上にあるような$${a}$$の値の範囲を求めよ.
(3) $${a}$$が(2)で求めた範囲にあるとする. このとき, 曲線$${C}$$と(2)で定めた直線$${L}$$で囲まれた部分の面積$${S(a)}$$の最小値を求めよ.

解答
(1)
$${y=x^3+(a+2)x^2+2ax+2}$$を$${a}$$についての恒等式として整理すると
$${(x^2+2x)a=y-x^3-2x^2-2}$$となるから, これを満たすのは
$${x^2+2x=0}$$かつ$${y-x^3-2x^2-2=0}$$のときである.
$${x^2+2x=0}$$より$${x=0,-2}$$
$${x=0}$$のとき$${y-2=0}$$より$${y=2}$$
$${x=-2}$$のとき$${y+8-8-2=0}$$より$${y=2}$$
よって, 求める座標は$${(x,y)=(0,2),(-2,2)}$$である.

(2)
(1)より直線$${L}$$の式は$${y=2}$$である.
よって, 曲線$${C}$$と直線$${L}$$の交点の$${x}$$座標は
$${x^3+(a+2)x^2+2ax+2=2}$$,すなわち$${x(x+2)(x+a)=0}$$より
$${x=0,-2,-a}$$である.
ゆえに, 交点が3つで, その交点が線分$${AB}$$上にあるようになるのは
$${-2\lt{-a}\lt{0}}$$だから$${0\lt{a}\lt{2}}$$である.

(3)
(2)より,求める面積は
$${S(a)=\int_{-2}^{-a}\lbrace{x^3+(a+2)x^2+2ax}\rbrace{dx}+\int_{-a}^0\lbrace{-x^3-(a+2)x^2-2ax}\rbrace{dx}}$$
$${=\Big[{\frac{1}{4}x^4+\frac{a+2}{3}x^3+ax^2}\Big]_{-2}^{-a}-\Big[{\frac{1}{4}x^4+\frac{a+2}{3}x^3+ax^2}\Big]_{-a}^0}$$
$${=\frac{1}{4}a^4-\frac{a+2}{3}a^3+a^3-\lbrace{4-\frac{8(a+2)}{3}+4a}\rbrace+\frac{1}{4}a^4-\frac{a+2}{3}a^3+a^3}$$
$${=\frac{1}{2}a^4-\frac{2(a+2)}{3}a^3+2a^3-4+\frac{8(a+2)}{3}-4a}$$
$${=\frac{a^4}{2}-\frac{2a^4+4a^3}{3}+2a^3-4+\frac{8a+16}{3}-4a}$$
$${=-\frac{1}{6}a^4+\frac{2}{3}a^3-\frac{4}{3}a+\frac{4}{3}}$$
よって
$${S^{\prime}(a)=-\frac{2}{3}a^3+2a^2-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}(a-1)(a^2-2a-2)}$$となり
$${S^{\prime}(a)=0}$$となるのは$${a=0,1\pm{\sqrt{3}}}$$である.
(2)より$${a}$$の範囲は$${0\lt{a}\lt{2}}$$だから増減表は以下となる.

$$
\begin{array}{c:c:c:c:c:c:}
a&0& &1& &2 \\
S^{\prime}(a)& &-&0&+& \\
S(a)& &\searrow& &\nearrow&
\end{array}
$$

したがって, 最小値をとる$${a}$$の値は$${a=1}$$であり
このとき$${S(1)=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{1}{2}}$$となるから,
求める最小値は$${S(a)=\dfrac{1}{2}}$$である.