2022年 熊本大学 前期 教育 大問7

座標平面上の曲線$${y=x^3-4x^2-4}$$を$${C}$$とする. 曲線$${C}$$上の点$${A(4,-4)}$$を通り, 傾きが$${k}$$の直線を$${l}$$とする. 曲線$${C}$$と直線$${l}$$が点$${A}$$の他に相異なる2つの共有点$${P,Q}$$をもつとき, 以下の問いに答えよ.
(1) $${k}$$の取りうる値の範囲を求めよ.
(2) 点$${P,Q}$$における曲線$${C}$$の接線をそれぞれ$${l_P,l_Q}$$とする. $${k}$$が(1)の範囲にあるとき, 接線$${l_P}$$と$${l_Q}$$の交点が描く曲線の方程式を求めよ.
(3) (2)の曲線と$${x}$$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ.

解答
(1)
その通る点と傾きから, $${l}$$の式は
$${y=k(x-4)-4=kx-4k-4}$$と表される.
これと$${C}$$の共有点の$${x}$$座標は2式を連立して
$${x^3-4x^2-4=kx-4k-4 \Leftrightarrow x^3-4x^2-kx+4k=0 \Leftrightarrow (x-4)(x^2-k)=0}$$
より, $${x=4, \pm{\sqrt{k}}}$$である.
よって, $${k\gt{0}}$$であり, $${\sqrt{k}\not=4}$$より, $${k\not=16}$$である.
以上より, 求める値の範囲は$${0\lt{k}\lt{16}, 16\lt{k}}$$である.

(2)
$${P,Q}$$の対称性から, $${P}$$の$${x}$$座標を$${\sqrt{k},Q}$$の$${x}$$座標を$${-\sqrt{k}}$$としてよい.
すなわち, $${P(\sqrt{k},k\sqrt{k}-4k-4),Q(-\sqrt{k},k\sqrt{k}-4k-4)}$$とする.
また, $${y^{\prime}=3x^2-8x}$$である.
よって, $${l_P,l_Q}$$の式はそれぞれ,
$${l_P: y=(3k-8\sqrt{k})(x-\sqrt{k})+k\sqrt{k}-4k-4=(3k-8\sqrt{k})x-2k\sqrt{k}+4k-4}$$
$${l_Q: (3k+8\sqrt{k})(x+\sqrt{k})-k\sqrt{k}-4k-4=(3k+8\sqrt{k})x+2k\sqrt{k}+4k-4}$$
と表される.
ゆえに2つの直線の交点について,
$${(3k-8\sqrt{k})x-2k\sqrt{k}+4k-4=(3k+8\sqrt{k})x+2k\sqrt{k}+4k-4}$$より,
$${16\sqrt{k}x+4k\sqrt{k}=0}$$となり, $${k\not=0}$$を用いて$${4x=-k}$$を得る.
(1)より, $${x}$$の範囲は$${x\not=-4, x\lt{0}}$$であるから, $${x\lt{-4},-4\lt{x}\lt{0}}$$である.
また, 交点の$${y}$$座標について
$${y=(3k-8\sqrt{k}(-\frac{k}{4})-2k\sqrt{k}+4k-4=-\frac{3}{4}k^2+4k-4}$$より,
$${y=-12x^2-16x-4}$$となる.
以上より, 求める方程式は$${y=-12x^2-16x-4}$$の$${x\lt{-4},-4\lt{x}\lt{0}}$$の範囲である.

(3)
(2)で得た式について, $${-12x^2-16x-4=-4(3x^2+4x+1)=-4(x+1)(3x+1)}$$であるから,
曲線$${y=-12x^2-16x-4}$$と$${x}$$軸との交点は$${x=-1,-\frac{1}{3}}$$である.
これはともに$${-4\lt{x}\lt{0}}$$を満たしている.
よって求める面積は
$${\int_{-1}^{-\frac{1}{3}}(-12x^2-16x-4)dx}$$
$${=-4\int_{-1}^{-\frac{1}{3}}(3x^2+4x+1)dx}$$
$${=-4\Big[{x^3+2x^2+x}\Big]_{-1}^{-\frac{1}{3}}}$$
$${=-4\lbrace{-\frac{1}{27}+\frac{2}{9}-\frac{1}{3}-(-1+2-1)}\rbrace}$$
$${=-4(\frac{-1+6-9}{27})}$$
$${=\dfrac{16}{27}}$$である.