2022年 鳥取大学 前期 農 大問7

座標空間に4点$${O(0,0,0), A(1,1,1), B(2,2,1), C(1,3,-3)}$$がある. 以下の問いに答えよ.
(1) 三角形$${ABC}$$の面積を求めよ.
(2) 原点$${O}$$から3点$${A,B,C}$$を通る平面に下ろした垂線を$${OD}$$とする. 点$${D}$$の座標を求めよ.
(3) (2)で求めた点$${D}$$について, 線分$${OD}$$の長さを求めよ.
(4) 四面体$${OABC}$$の体積を求めよ.

解答
(1)
$${\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}}$$とする.
各点の定義より
$${|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}, |\overrightarrow{b}|=\sqrt{4+4+1}=3, |\overrightarrow{c}|=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}}$$
$${\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=2+2+1=5, \overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}=2+6-3=5, \overrightarrow{c}・\overrightarrow{a}=1+3-3=1}$$
いま$${\triangle{ABC}}$$について考えると,
$${\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})・(\overrightarrow{c}・\overrightarrow{a})=0}$$
だから, $${\overrightarrow{AB}\perp{\overrightarrow{BC}}}$$である.
よって, $${\triangle{ABC}}$$は$${\angle{ABC}}$$が直角である三角形であることがわかる.
この直角を挟む2辺について
$${|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9-10+3}=\sqrt{2}, |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{19-10+9}=3\sqrt{2}}$$
だから, 求める面積は
$${\frac{1}{2}\times{\sqrt{2}}\times{3\sqrt{2}}=3}$$である.

(2)
$${D}$$は平面$${ABC}$$上の点だから, 実数$${s,t}$$を用いて
$${\overrightarrow{OD}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}}$$と表せる.
これは$${\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}}$$と垂直である
よって, $${\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{AB}=0}$$より
$${\lbrace{s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}}\rbrace・(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0}$$
$${-s|\overrightarrow{a}|^2+t|\overrightarrow{b}|^2+(s-t)\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}-(1-s-t)\overrightarrow{c}・\overrightarrow{a}=0}$$
$${-3s+9t+5(s-t)+5(1-s-t)-(1-s-t)=0}$$
$${-2s+4=0}$$
$${\therefore s=2}$$
また, $${\overrightarrow{OD}・\overrightarrow{AC}=0}$$より
$${\lbrace{s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}}\rbrace・(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=0}$$
$${-s|\overrightarrow{a}|^2+(1-s-t)|\overrightarrow{c}|^2+(2s+t-1)\overrightarrow{c}・\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}・\overrightarrow{c}-t\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0}$$
$${-6-19(1+t)+3+t=0}$$
$${-22-18t=0}$$
$${t=-\frac{11}{9}}$$
よって, $${\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{a}-\frac{11}{9}\overrightarrow{b}+\frac{2}{9}\overrightarrow{c}}$$
$${=2(1,1,1)-\frac{11}{9}(2,2,1)+\frac{2}{9}(1,3,-3)}$$
$${=(-\frac{2}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9})}$$
したがって点$${D}$$の座標は$${(-\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9})}$$である.

(3)
(2)より
$${|\overrightarrow{OD}|=\sqrt{\frac{4+4+1}{9^2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}}$$である.

(4)
(1)(3)より, 四面体$${OABC}$$は底面積$${3}$$, 高さ$${\frac{1}{3}}$$の三角錐だから
求める体積は$${\frac{1}{3}\times{3}\times{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}}$$である.