2022年 岐阜大学 前期 看護 大問1

$${a\gt{0}}$$とする.
空間内の5点$${A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),D(0,-a,0),E(0,0,2a)}$$を頂点とする正四角錐を考える.
3辺$${EB,EC,ED}$$上に$${\overrightarrow{EF}=t\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EG}=s\overrightarrow{EC},\overrightarrow{EH}=t\overrightarrow{ED}}$$となる3点$${F,G,H}$$をとる.
ただし, $${0\lt{s}\le{1},0\lt{t}\le{1}}$$とする.
線分$${AG}$$と線分$${FH}$$は交点$${I}$$をもつとする.
以下の問いに答えよ.
(1) $${I}$$の座標を$${a}$$と$${t}$$で表せ.
(2) $${t}$$を$${s}$$で表せ.
(3) $${BI\perp{DI}}$$のとき, $${s}$$の値を求めよ.
(4) $${BI\perp{DI}}$$とする. $${\angle{BGD}=\theta}$$とするとき, $${\cos{\theta}}$$の値を求めよ.

解答
(1)
各点の定義より,
$${\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EF}}$$
$${=\overrightarrow{OE}+t\overrightarrow{EB}}$$
$${=(1-t)\overrightarrow{OE}+t\overrightarrow{OB}}$$
$${=(1-t)(0,0,2a)+t(0,a,0)}$$
$${=(0,ta,2a-2ta)}$$
$${G,H}$$についても同様に考えて,
$${\overrightarrow{OG}=(-sa,0,2a-2sa), \overrightarrow{OH}=(0,-ta,2a-2ta)}$$
いま点$${I}$$は$${AG}$$上の点ゆえ, 実数$${k}$$を用いて
$${\overrightarrow{OI}=(1-k)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OG}}$$
$${=(1-k)(a,0,0)+k(-sa,0,2a-2sa)}$$
$${=(a-ka-ska,0,2ka-2ska)}$$
また点$${I}$$は$${FH}$$上の点でもあるから, 実数$${l}$$を用いて
$${\overrightarrow{OI}=(1-l)\overrightarrow{OF}+k\overrightarrow{OH}}$$
$${=(1-l)(0,ta,2a-2ta)+l(0,-ta,2a-2ta)}$$
$${=(0,ta-2lta,2a-2ta)}$$
よって, 各成分より,
$${a-ka-ska=0}$$かつ$${ta-2lta=0}$$かつ$${2ka-2ska=2a-2ta}$$
ここで, $${a,t}$$はともに$${0}$$でないから, $${ta-2lta=0}$$より$${l=\frac{1}{2}}$$
したがって, $${\overrightarrow{OI}=(0,0,2a-2ta)}$$であるから,
点$${I}$$の座標は$${I(0,0,2a-2ta)}$$である.

(2)
(1)より,
$${\overrightarrow{AI}=(0,0,2a-2ta)-(a,0,0)=(-a,0,2a-2ta)}$$
$${\overrightarrow{AG}=(-sa,0,2a-2sa)-(a,0,0)=(-sa-a,0,2a-2sa)}$$
$${A,I,G}$$は同一直線上にあるから, 実数$${x}$$を用いて
$${\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AI}}$$と表せる.
よって, $${-sa-a=-xa}$$かつ$${2a-2sa=2xa-2xta}$$
$${a\not=0}$$より$${x=1+s}$$だから
$${2a-2sa=2(1+s)a-2(1+a)ta}$$
これを整理して, $${1-s=(1+s)(1-t)}$$
$${0\lt{s}\le{1}}$$より$${1+s\not=0}$$なので, $${1-t=\frac{1-s}{1+s}}$$
$${\therefore t=\dfrac{2s}{1+s}}$$

(3)
$${\overrightarrow{BI}=(0,0,2a-2ta)-(0,a,0)=(0,-a,2a-2ta)}$$
$${\overrightarrow{DI}=(0,,0,2a-2ta)-(0,-a,0)=(0,a,2a-2ta)}$$
$${\overrightarrow{BI}・\overrightarrow{DI}=0}$$より$${-a^2+(2a-2ta)^2=0}$$
$${\therefore (2a-2ta+a)(2a-2ta-a)=0}$$
これは$${a\not=0}$$より$${(2-2t+1)(2-2t-1)=0}$$とできるから
$${2-2t=\pm{1}}$$
(2)より$${t=\frac{2s}{1+s}}$$だから, $${\frac{4s}{1+s}=2\mp{1}=1,3}$$
$${\therefore s= \frac{1}{3},3}$$
$${0\lt{s}\le{1}}$$より, $${s=\dfrac{1}{3}}$$である.

(4)
(3)より, $${BD\perp{DI}}$$のとき$${s=\frac{1}{3}}$$であり,
(2)より$${t=\frac{2s}{1+s}=\frac{1}{2}}$$である.
よって, $${\overrightarrow{OG}=(-\frac{1}{3}a,0,\frac{4}{3}a)}$$だから
$${\overrightarrow{BG}=(-\frac{1}{3}a,0,\frac{4}{3}a)-(0,a,0)=(-\frac{1}{3}a,-a,\frac{4}{3}a)}$$
$${\overrightarrow{OG}=(-\frac{1}{3}a,0,\frac{4}{3}a)-(0,-a,0)=(-\frac{1}{3}a,a,\frac{4}{3}a)}$$
ゆえに,
$${|\overrightarrow{BG}|=\sqrt{\frac{1}{9}a^2+a^2+\frac{16}{9}a^2}=\frac{\sqrt{26}}{3}a}$$
$${|\overrightarrow{DG}|=\sqrt{\frac{1}{9}a^2+a^2+\frac{16}{9}a^2}=\frac{\sqrt{26}}{3}a}$$
$${\overrightarrow{BG}・\overrightarrow{DG}=\frac{1}{9}a^2-a^2+\frac{16}{9}a^2=\frac{8}{9}a^2}$$
したがって, $${\cos{\theta}=\frac{\frac{8}{9}a^2}{\frac{26}{9}a^2}=\dfrac{4}{13}}$$である.