１次不定方程式の解法　～ｎｏｔｅが数式に対応したって？　記念～

587x+728y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。

587と728のGCDは1だから，この方程式は整数解をもつ。

(1) 整数解を１つ見付ける

互除法により

$$
\begin{array}{rrrrrr}
&\kern-1em\underline{\kern.9ex 1}&\kern-1em\underline{\kern2ex 7}&\kern-1em\underline{\kern3.2ex 6}&\kern-1em\underline{\kern3.2ex 4}&\kern-1em\underline{\kern3.2ex 1}\\[-3pt]
2 &\kern-1em)3 &\kern-1em)23 &\kern-1em)141 &\kern-1em)587 &\kern-1em)728\\[-3pt]
&\underline{2}&\underline{21}&\underline{138}&\underline{564}&\underline{587}\\[-3pt]
&1&2&3&23&141
\end{array}
$$

これより

$$
\begin{array}{rrrrrrr|c}
728&587&141&23&3&2&1\\\hline
-1&1&1&&&&&A\\
&-1&4&1&&&&B\\
&&-1&6&1&&&C\\
&&&-1&7&1&&D\\
&&&&-1&1&1&E\\\hline
&&&&1&-1&-1&-E\\
&&&-1&7&1&&D\\
&&8&-48&-8&&&-8C\\
&-49&196&49&&&&49B\\
204&-204&-204&&&&&-204A\\\hline
204&-253&&&&&-1
\end{array}
$$

よって与式の整数解の１つは　$${(x,\ y)=(-253,\ 204)}$$　である。
したがって　$${587(x+253)=-728(y-204)=587\cdot728k}$$（$${k}$$ は整数）とおくと

$$
(x,\ y)=(728k-253,\ -587k+204) \quad\text{( $k$ は整数)}
$$

使ってみた雑感

• 別行立て数式を利用する場合は，段落丸ごと数式のみにする必要がある模様。段落の最初の行と最後の行を「$$」のみにする必要がある。その結果として，別行立て数式の前後行のアキがとても広く感じる。

• テキストエディタなど，別の所で数式を入力して貼り付けるときは，「\\」が「\」に化けるようなので注意が必要。table，array，align などを使っているときは，手作業で修正するか，「\」→「\\」に一括変換してからコピペするか……。

• 見出しには数式を使えない。地味に痛い。箇条書きの中で使えるのは幸い。