円周率πの定義と円の計量

半径が$${r}$$、円周が$${l}$$となる円について考えた時、円の直径$${2r}$$と円周の長さ$${l}$$の比は常に等しいので$${\frac{l}{2r}}$$は一定の値をとる。これを円周率$${\pi}$$と定義する。
式1: $${円周率\pi = \frac{l}{2r} =3.141592…}$$
円周率は無理数の1つであることが知られている。
・循環小数(循環する無限小数) $${\frac{1}{3} = 0.3333…}$$
・無理数(循環しない無限小数) $${\pi, e, \sqrt{2}など}$$

円周率$${\pi}$$を利用すると円周の長さや円の面積は次のように示すことができる。
式2: $${円周の長さl = 2 \pi r}$$
式3: $${円の面積S = \pi r^2}$$

式2の導出: $${円周l = 2r × \frac{l}{2r} = 2r × \pi = 2 \pi r}$$
式3の導出: xy平面上において円の方程式は三平方の定理より$${x^2 + y^2 = r^2}$$である。この式を変形すると$${y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}}$$が成り立つ。

下半分は入力ミスで正しくはy = - √(r^2 - x^2)

ここで円の面積をSとすると円の上半分の面積は
$${\frac{S}{2} = \int^r_{-r} \sqrt{r^2 - x^2} dx}$$
ここで、$${x = r\sin \theta (-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})}$$と置換すると置換積分の公式$${\int^b_a f(g(t)) dx = \int^\beta_\alpha f(g(t)) g'(t)dt}$$より
$${\frac{S}{2} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 - (r \sin \theta)^2} (r \cos \theta) d \theta}$$
   $${= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 - r^2 \sin ^2 \theta} (r \cos \theta) d \theta}$$
   $${= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2(1 - \sin ^2 \theta)} (r \cos \theta) d \theta}$$
ここで$${\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1}$$より$${\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta}$$が成り立つ。よって
   $${= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 \cos ^2 \theta} (r \cos \theta) d \theta}$$
   $${= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 \cos ^2 \theta  d \theta}$$
   $${= r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 \theta d \theta}$$
ここで半角の公式$${\cos ^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}}$$において$${\frac{\theta}{2} = x}$$とおくと$${\theta = 2x}$$となり、$${\cos ^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}}$$が成り立つので
   $${= r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta}$$
   $${= \frac{r^2}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 + \cos 2 \theta d \theta}$$
ここで、$${2\theta = t}$$に置換して定積分を行うと、置換積分の公式より
   $${= \frac{r^2}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 2 \theta}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}$$
   $${= \frac{r^2}{2}[(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2})-(-\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2})]}$$
   $${= \frac{r^2}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2})}$$
   $${= \frac{r^2}{2} (\pi + \sin \pi)}$$
   $${= \frac{r^2}{2} \pi}$$
   $${= \frac{1}{2} \pi r^2}$$
よって$${S = \pi r^2}$$