実数の定義

どんな実数も、それを収束先に持つ有理数の点列を持つ、というのが基本的な実数の性質としてあるけれども、これは有理数体の完備化として定義した場合明らかというか、定義に含まれている。

では、他の定義を採用したらどうか。
実数の定義をいくつか述べて、上記命題を証明してみよ、というのは、非常に良い練習や口頭試問の題材であろう。

For every real number $a$ there exists a sequence $r_n$ of rational numbers such that $r_n$ approaches $a$.

他にも、バリエーションとして、有理数体の完備化で定義して、「任意のx\in \Bbb{R}に対しx^2\ge 0を示せ」というのも良い問題であろう。こちらは高校生からの感覚でいえばより当たり前であろうが。