行列式の積の置換を使わない証明(test)

前提知識

①アインシュタインの縮約
②レビチビタ記号

1.3次元の場合

$${|A|=\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k},|B|=\varepsilon_{ijk}b_{1i}b_{2j}b_{3k}}$$(定義)から,

$${|AB|=\varepsilon_{lmn}(a_{1i}b_{il})(a_{2j}b_{jm})(a_{3k}b_{kn})}$$を目指す.

1証明:

$$
|A||B|=\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k} \varepsilon_{lmn}(b_{1l})(b_{2m})(b_{3n})
\\=\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}
\varepsilon_{lmn}[\delta_{1i}b_{il}][\delta_{2j}b_{jm}][\delta_{3k}b_{kn}]
\\=(\delta_{1i}\delta_{2j}\delta_{3k}\varepsilon_{ijk})\varepsilon_{lmn}a_{1i}b_{il}a_{2j}b_{jm}a_{3k}b_{kn}
\\=[\varepsilon_{123}]\varepsilon_{lmn}a_{1i}b_{il}a_{2j}b_{jm}a_{3k}b_{kn}
\\=\varepsilon_{lmn}(a_{1i}b_{il})(a_{2j}b_{jm})(a_{3k}b_{kn})
\\=|AB|.(逆も成り立つ)\\
\ (ただし,分かりやすさのため,縮約前(),縮約後を[]で括った.)
$$

2.n次元の場合

$${|A|=\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n},|B|=\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}b_{1i_1}\cdots b_{ni_n}}$$(定義)から,

$${|AB|=\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}a_{1i_1}b_{i_1 j_1}\cdots a_{ni_n}b_{i_n j_n}}$$を目指す.

2証明:

$$
|A||B|=\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n} \varepsilon_{j_1 \cdots j_n}b_{1j_1}\cdots b_{nj_n}
\\=\delta_{1i_1}\cdots\delta_{ni_n}\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}a_{1i_1}b_{i_1 j_1}\cdots a_{ni_n}b_{i_n j_n}
\\=\varepsilon_{1\cdots n}\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}a_{1i_1}b_{i_1 j_1}\cdots a_{ni_n}b_{i_n j_n}
\\=\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}a_{1i_1}b_{i_1 j_1}\cdots a_{ni_n}b_{i_n j_n}
\\=|AB|.(逆も成り立つ)\\
$$